Question

高中数学数列求和

数列求和的构造新数列法怎么用? 如下题，，

Answer 1

数列
的
解法
主要有这么几种:
求
通项公式
:
1.叠加法
通常是形如An-(An-1)=k的形势，其中后面的k要么是
常数
，要么就是可以求和的
例如:已知数列An，An-(An-1)=n，A1=1，求An;
就可以这么写:
A2
-
A1=
2
A3
-
A2=
3
……
An
-
An-1
=n
全部加起来，就得到An-A1=(2+3+……+n)，即可解出An。
这个办法的关键在于后面的k要可以求和。这里的2，3，4……是可以求和的。
等比数列
当然也可以，比如An
-
An-1
=2^n。
2.叠
乘法
形如An
/
An-1
=k的
递推公式
可以用叠乘法，
思路
和上面一样，不过同样的，k要能够求积。
3.前项后项之间的
线性关系
形如An
=
k【(An-1)】+b
的递推关系属于此类。
解决方法
是把它弄成一个等比数列。弄的办法是，把原式两遍加上m，使其满足:
An+m
=
k【(An-1)+(b+m)/k】
其中，(b+m)/k应该等于m
(因为我们想要把它弄成等比数列)，解出m=b/(k-1)，然后的事情你就会了吧。先把数列An
+
m的通项公式搞定，然后减去m就可以了。
4.
构造
辅助数列
在高考范围内，这个一般不会太难，主要的思想是把递推公式中不好处理、带n的东西弄成常数，然后剩下的事情是自然的事。
例如:An=
-
An-1
+
3^n，A1=0,求通项公式
这里面我们就可以把烦人的3^n除下去，让它变成常数。
然后是
An/3^n
=
-
An-1
/3^n
+1
这时有个思想:An和n一拨，An-1
和
n-1
一拨。右边的An-1
和n一拨，这不对，所以乘一个1/3出来，得到:
An
/3^n
=
-1/3((An-1)/3^n+1)+1
看明白了吧，你不觉得眼熟吗?“前后项的线性关系”没错吧。按照那个思路，这道题就解决了。
其实一般的辅助数列他都给你造好了，那就更简单了。记住:只要在题目中看见“设Bn=……”，那么它再难也是简单题。原则就是一个:凑，方法是:看谁跟谁一拨。方法跟上面的一样。
求和主要就是列项和错位相减，列项适用于形如(1×2)分之1
+
(2×3)分之1这样，可以对消掉
中间
项的
分式
;而错位相见适用于一个
等差数列
与一个等比数列的
乘积
数列。如An=
n*(2^n)，就可以用错位相减。方法是:先写几项，然后乘上
公比
，做差，计算中间等比数列的和，整理答案。
例如求上面的数列前N项和:
Sn=
1×2
+
2×4
+
3×8
+……+
n×2^n
2Sn=
1×4
+
2×8
+……+
(n-1)×2^n
+
n×2^(n+1)
上减下:-Sn=2+(4+8+……+2^n)-n×2^(n+1)
把中间的等比数列之和求出来，题目即可解出。
现在主要就是考察这些，知道这些方法后，他难不住你的