Question

复合函数极限运算法则的定理中，内函数为什么不能等于其极限值？（同济高数六版上 48页）

定理6说：f[g(x)]在x0的去心邻域有定义，当x趋于x0时，若lim g(x)=u0，lim f(x)=A，且存在δ0 >0，当x属于去心邻域(x0，δ0)时，有g(x)不等于u0，
则 lim f[g(x)]<x趋于x0>=lim f(u)<u趋于u0>=A 。

疑问：为什么其中的 “g(x)不等于u0” ？有什么意义？

注：x0，u0，δ0后面的0都是下标0，表示某一值。

Answer 1

"且存在δ0 >0，当x属于去心邻域(x0，δ0)时，有g(x)不等于u0"这句话其实就是说δ0足够小
见课本p32，定义1及自变量趋于有限值事函数的极限

看了还不明白可以继续问

追问

不好意思，还是不明白。既然是去心临域U，不就是说δ0足够小吗？且g(x)=u0也不和g(x)的极限是u0冲突啊？g(x)是否等于u0不是只牵涉到是否连续吗？

追答

p32第16行：适合不等式0＜|x-x0|＜δ的x的全体，就是点x0的去心δ邻域，。。。。

定义1给出的x->x0,f(x)的极限：|f(x)-A|<口。所以有必要说明:当x属于去心邻域(x0，δ0)时，有g(x)不等于u0

事实上δ0足够小时，g(x)不等于u0在g（x）不为常函数时恒成立，这里只是为了使定理更为严谨。

Answer 2

看到P48倒数第九行的不等式。 若有 当x属于去心邻域(x0，δ0)时，有g(x)等于u0，如果f(u)在u=u0不连续，上述提到的不等式不一定成立。

追问

g(x)=u0且lim g(x)=u0，不就是连续的充分条件吗？ 怎么会有不连续的可能？？

Answer 3

定理6中的条件（简称为）“g(x)≠u0”的必要性：
看这个例子：
g(x)=1 (x∈R)，
f(u)为分段函数：当u≠1时，f(u)=u；当u=1时，f(u)=2，
取x0=1，则u0=1，【g(x)=u0】=1，lim(u→1)f(u)=1=A，lim(x→1)f(g(x))=f(1)=2，2≠1，
即lim(x→1)f(g(x))≠A，即定理6的结论不成立。
所以，一定要有条件“g(x)≠u0”。

追问

你的举例中，u趋于1时，f(u)的极限为什么是1，而不是2呢？f(u)既然只在u=1时函数为常数2，那不是说1是可去间断点，所以极限还是要按f(u)=u来算的不是吗？

追答

举例中，u趋于1时，f(u)的极限确实是1，而不是2：
可以把f(u)的图形画出来看一看：
对于那些【无限接近1而又不是1】的u，函数值f(u)确实是无限接近1而不是无限接近2，
按照极限的意义，所以极限是1。

确实，1是f(u)的可去间断点；但是，极限不是按照f(u)=u来算，而是按照f(u)原来的定义来算。