Question

高数微分方程问题。图中怎么解出的特解，求说明。

Answer 1

这是标准的特解形式的设法：

右边f(x)=-xsinx+2cosx
i是单根，sinx,cosx的系数多项式-x,2的最高次是1次，，
故特解形式：y*=x[(Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx]

括号外面的x是因为i单根
(Ax+B),(Cx+D)是因为-x,2的最高次是1次，要统一设为一次多项式

如果右边f(x)=-xsinx+2x²cosx (最高次是2次)
那么y*=x[(Ax²+Bx+C)cosx+(Dx²+Ex+F)sinx]

如果右边f(x)=-sinx+2cosx (常数就是0次）
那么y*=x[Acosx+Bsinx]

追问

ok

Answer 2

就是把设出来的特戒形式代回原方程求出ABCD啊。
y*=x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx=(Ax^2+Bx)cosx+(Cx^2+Dx)sinx
y*'=(2Ax+B)cosx-(Ax^2+Bx)sinx+(2Cx+D)sinx+(Cx^2+Dx)cosx
=(Cx^2+(2A+D)x+B)cosx+(-Ax^2+(-B+2C)x+D)sinx
y*''=(2Cx+2A+D)cosx-(Cx^2+(2A+D)x+B)sinx+(-2Ax+(-B+2C))sinx+(-AX^2+(-B+2C)x+D)cosx
=(-Ax^2+(-B+4C)x+2A+2D)cosx+(-Cx^2+(-4A-D)x+(-2B+2C))sinx
所以4Cx+2A+2D=2,-4Ax+(-2B+2C)=-x
解得A=1/4,B=C=0,D=3/4
所以y*=x^2/4*cosx+3x/4*sinx

追问

我的意思是怎么写出的那个特解的形式，就是不会这个

追答

(⊙o⊙)…额……大概是经验吧
通解为y=C1cosx+C2sinx
由于这里的sin、cos里面已经是x了，所以要对付那个2cosx就要设出Axsinx+Bxcosx的形式，要对付那个-xsinx就要设出(Ax^2+Bx)sinx+(Cx^2+Dx)cosx的形式。。。