Question

函数的微分与函数增量的关系？

请问如下图所示，△y-dy=1/2f"(ξ)(△x)^2是怎么推的

Answer 1

解答:
dx : 是x的无穷小的增量；
dy ： 是y的无穷小的增量；
dy/dx：是y对x的导数，是dy对dx的微分的商，简称微商。
意义：随着x的无穷小增量，引起y无穷小的增量，这两个增量的比率。
也就是，y随x的无穷小变化所导致的相对变化率、牵连变化率。
几何意义：在原函数上任意一点x处的切线的斜率。
y' ： 国内的教学，对y'一往情深，对dy/dx弃如敝屣。
这样完全一边倒的教学法，就葬送了许多学生对微积分的基本悟性。
y'唯一的好处就是书写简便，它埋葬了微商的特性，尤其是解微分方程的直觉。
y'×dx：就是微分，y'在定义上是dy/dx，在表达形式上是一个函数y'，
y'×dx就是表示由于x的增量导致的y的增量的大小。

也就是(dy/dx)dx, 在形式上是f'(x)dx, 在意义上是dy，
这就是导数公式与微分公式的关系。

Answer 2

函数的增量△y=f′（x。）△x+o（△x）=dy+o（△x），即函数的增量△y与微分dy相差一个高阶无穷小，因此当|△x|很小时，△y≈dy.