Question

三角形abc的三个内角为a.b.c求当A为何值时cosA+cos(B+C)/2取最大值,并求出最大值

求过程，勿复制

Answer 1

已知A+B+C=π
所以，B+C=π-A
令y=cosA+cos[(B+C)/2]=cosA+cos[(π-A)/2]=cosA+sin(A/2)
=1-2sin^2 (A/2)+sin(A/2)
令sin(A/2)=t，则t∈(0,1)
所以，y=-2t^2+t+1=-2[t^2-(t/2)+(1/16)]+(1/8)+1
=-2*[t-(1/4)]^2+(9/8)
所以，当t=1/4∈(0,1)时，y有最大值9/8
此时，sin(A/2)=t=1/4
===> A/2=arcsin(1/4)
===> A=2arcsin(1/4)
或者，A=π-2arcsin(1/4).

追问

为什么cos[(π-A)/2]=sin(A/2)?公式是什么

追答

如果α+β=90°，则sinα=cosβ

追问

为什么sin(A/2)的值域是(0,1)?正弦函数的值域不是(-1,1)吗?
我加点分给你

追答

因为A是△ABC的一个内角，那么A∈(0,π)
则A/2∈(0,π/2)
所以，sin(A/2)∈(0,1)

不能简单的一看到正弦函数就确定范围是[-1,1]，还要看角的范围！！

追问

为什么别人都说A=arcsin(1/2)，且最大值为3/2

追答

那就不清楚了，你看过“别人”的解答过程吗？

追问

别人的题目不一样呵呵看看错了，其他的都懂了，最后一行怎么变成了A=π-2arcsin(1/4).

别人的题目不一样呵呵看看错了，其他的都懂了，最后一行怎么变成了A=π-2arcsin(1/4).

追答

因为A=2arcsin(1/4)是一个锐角，但是它也可以是一个钝角，所以就用π-2arcsin(1/4)
例如：sin30°=sin150°，就是这个道理。

Answer 2

S= cosA +cos[(B+C)/2]
= cosA + sinA
= √2sin(A+π/4)
max S = √2
at A = π/4

追问

如何证明cos[(B+C)/2]=sinA

如何证明cos[(B+C)/2]=sinA

追答

cos[(B+C)/2]= cos(π/2-A) = sinA

追问

为什么(B+C)/2=π/2-A