Question

已知不等式x²-2ax+2>0对x∈【1,2】恒成立,求实数a的取值范围

Answer 1

二次函数x²-2ax+2的对称轴为x=-b/2a= a ，开口向上。
当对称轴a≤1时，x²-2ax+2在[1,2]是递增的。
那么当x=1时取最小值3-2a，则最小值3-2a>0 即a<3/2
则a≤1

当对称轴 1<a<2时，x²-2ax+2在[1,2]上最小值为x=a，
即-a²+2>0 -√2<a<√2
则1<a<√2

当对称轴a≥2时，x²-2ax+2在[1,2]是递减的，
则当x=2时，取最小值 6-4a >0，即a<3/2

综上所述a的取值范围为a<√2

追问

为什么综上之后就可以得出a<√2

追答

上面假设了三种情况，每种情况中，计算出来的范围，要和假设的情况取交集。例如：
当对称轴a≤1时，算出来a<3/2，所以应该是a≤1；
当对称轴 1<a<2时，算出来1<a<√2，那么就是1<a<√2
当对称轴a≥2时，a<3/2，这个是空集。
然后综合起来就是a<√2

追问

第二个的取值范围不是还有个a＞1吗，综上之后就不用考虑了吗，为什么啊！！

追答

分情况讨论之后，求a的范围，是不是得把每种情况加起来。
当a≤1时，取a≤1
当1<a<2时，取1<a<√2
然后取这些范围的并集，不就是a<√2

追问

ok,thankyou

Answer 2

配方x^2-2ax+a^2+2-a^2>0，所以(x-a)^2+2>a^2
因为(x-a)^2>=0,所以a^2<2,得|a|<2^0.5

Answer 3

解：由不等式-2ax＋2＞0，可得a＜1/x，吧x的值代入化简后的式子求即可。

Answer 4

式子有不等解，即b*b-4ac>0,即4a*a-8>0此外，该式的对称轴应该大于2或小于1，即a>2或者a<1
综上所述，a小于根号2或大于2

Answer 5

解出了x/2+1/x的最小值是√2，下一步就是判断这个最小值在定义域内能不能取到。这个最小值是当x取√2时得到的，√2在定义域内，所以可以取到，即最小值是√2。
所以a只要小于√2就可以了

Answer 6

这个蛮简单的