Question

定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m,n，总有f(m+n)=f(m)×f(n),且当x＞0时，0＜f(x)＜1.

定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m,n，总有f(m+n)=f(m)×f(n),且当x＞0时，0＜f(x)＜1. (1) 试求f(0)的值（2）判断f(x)的单调性并证明这个结论（3）设A=｛（x，y）│f（x⌒2）×f(y⌒2)＞f(1)｝,B=｛(x，y)│f(ax-y+√2)=1，a∈R｝，若A∩B＝空集，试确定a的取值范围。 注：“⌒2”表示平方（4）试举出一个满足条件的函数f(x） 希望4个小题都能解出，详解，谢谢！

Answer 1

设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)*f(n).且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(0)=1,且当x<0时，有0<f(x)<1；
(2)判断f(x）在R上的单调性；
(3）设集合A={(x,y)/f(x^2)*f(y^2)<f(1)},集合B={(x,y)/f(ax-y+5)=1,a属于R},若A交B=空集，求a的取值范围。
(1)解析：∵函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)*f(n)
设m=1,n=0
f(1+0)=f(1)*f(0)==>f(0)=f(1)/f(1)=1
令m=x,n=-x
f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)=1
f(-x)=1/f(x)
∵当x>0时，f(x)>1
∴0<1/f(x)<1，0<f(-x)<1
即x<0时，有0<f(x)<1；
(2)解析：设n<0 ，对于实数m有f(m+n)=f(m)*f(n)
∵n<0，∴0<f(n)<1
∵函数f(x)在R上恒大于0m+n<m，
∴f(m+n)<f(m)
即，对于任意实数x1<x2，都有f(x1)<f(x2)成立
∴函数f(x)在R上单调增；
(3)解析：由f(m+n)=f(m)*f(n).
f(x^2)*f(y^2)＝f(x^2＋y^2)<f(1)
∵函数f(x)在R上单调增
∴x^2＋y^2<1
∵f(ax-y+2)=1＝f(0)，∴ax-y+2＝0
∵A∩B=空集
∴x^2＋y^2<1表示的圆内部分与直线ax-y+2＝0无公共点,直线与圆相切或相离
原点到直线y=ax+2的距离为2/√(a^2+1)>=1
解得-√3<=a<=√3

Answer 2

(1) ∵f(m n)=f(m)×f(n) ∴令m=n=0 ∴f(0)=2f(0) 即f(0)=0