Question

已知函数f（x）=a(x-1)²+lnx

（1）函数有两个极值点x1，x2，求a的取值范围
（2）a=-1/4时，求f（x）的单调区间
（3）当x∈[1，+∞﹚，函数f（x）图像上的点都在直线y=x-1的下方，求a的取值范围

Answer 1

(1)f导为2a(x-1)+1/x (x>0)
x为正且a=0不符合题意所以令导函数式等于0
化简得到一个一元二次方程2ax^2-2ax+1=0
由题意知该方程在x>0上有有两个相异实根x1x2
判别式>0得到a<0或a>2
韦达定理有x1x2=1/2a>0得到a>0
所以a>2
(2)此时f导=-1/2(x-1)+1/x(x>0)
令f导等于零解得x=-1或2，-1舍去
计算得f导1等于1为正所以在（0,2）单增x>2减
（3）令g(x)=x-1-f(x)即......
原题转化为如果g(x)>=g(1)在x>=1上恒成立求a的范围
1）a=0代入发现g在该区间内单增，故符合题意
2)a不等于0，g导化简得到 分子(2ax-1)(x-1)分母-x
判断一下-x为负，x-1非负，所以这个函数只可能是1到正无穷上的单调增函数，也就是需要2ax-1<0
2a<1/x 要恒成立必须小于 貌似有问题了抱歉

Answer 2

第三问:由题意得，当x∈[1，+∞﹚时，恒有g(x)=a(x-1)²+lnx-(x-1)≤0 ，
又因为当a>0时，a(x-1)²是开口向上的抛物线，在x∈[1，+∞﹚总存在直线y=x-1的上方的点，更何况a(x-1)²+lnx，所以考虑>=0,
当a=0时，,g'(x)=1/x-1≤0，x∈[1，+∞﹚成立
当a<0时，g'(x)=[2ax²-（2a+1）x-1]/x=g'(x)=(2ax-1)(x-1)/x,这里2ax-1<0，且x-1>0,故有(2ax-1)(x-1)/x<0,所以g（x）单调递减，有g(x)<g(1)=0,
综上，a的取值范围是x∈(-∞，0]

Answer 3

解：

y'=2a(x-1)+1/x=(2ax²-2ax+1)/x   （x＞0）

1. 当a=0时，显然不满足条件

   当a≠0时，判别式=4a²-8a   因为有两个极值点，所以 4a²-8a>0   即a>2或者a<0

 2.a=-1/4

 y'=(-1/2*x²+1/2*x+1)/x=-1/2(x²-x-2)/x=-(x-2)(x+1)/2x  (x＞0)

令y'=0  x=2    x=-1(省去)

当x在(0,2)时 y'>0  y单调增

当x在（2，正无穷）时，y'<0 y 单调减

3.结合y=a(x-1)² 与y=lnx的图像可知 a<0

令g(x)=a(x-1)²+lnx-(x-1)  x∈[1，+∞﹚  （始终g（x）≤0）

g'(x)=【2ax²-（2a+1）x-1】/x

 

（没算出来）