Question

如何用拉氏定理证明方程只有一个实根

Answer 1

通过证明可以知道，可以证明只有一个实根滑渣。若,则方程在上有且仅有一个实根.
证明:对函数在用拉氏定理
又因为,所以,由根值定理:
至少存在一点,使;
又因为单增,故只有一个实根.
练习:(1)设为大于1的正数,且.证明:当时,
证明:令,令 得唯一驻点
又故为极小值巧悄,从而也为最小值.
故对于任何,有
(2)求抛物线在第一象限内的一条切线,使该切线与两坐标轴所围成的平面图形面积信宽悄最小.

Answer 2

如何证明该方程只有派败一个实根，或函数只有一个零点，你说的有问题
令h(x)=ln(1+x^2)-x+1,
h'(x)=2x/(1+x^2)-1=-(x-1)^2/(1+x^2)恒小于等于0，
则h(x)在R上单茄正调递减，
又h(3)=ln10-2>0,h(4)=ln17-3<0,
存在零点∈（3,4），
即函数h(x)=ln(1+x^2)-x+1,存在唯一零点，
即颤羡悔方程ln(1+x^2)=x-1,有唯一解