Question

已知函数f（x）=|x²-4x-5|，若在区间【-1,5】上，y=kx+3k的图像位于函数f（x）的上方，求k的取值范围

Answer 1

在区间【-1,5】上，x^2-4x-5<=0，所以，f（x)=∣x^2-4x-5∣=-x^2+4x+5
设g(x)=kx+3k-f(x)=kx+3k+x²-4x-5=x²+(k-4)x+3k-5
若在区间[-1,5]上，y=kx+3k的图像位于函数F（x）= -x²+4x+5图像的上方
则在区间[-1,5]上，g(x)恒大于0
即g(x)=x²+(k-4)x+3k-5>0

当-(k-4)/2<-1时，即k>6时，
g(x)的最小值为g(-1)=1-k+4+3k-5=2k>0
∴k>6时, g(x)≥g(-1)>0

当-1≤-(k-4)/2<1时，即2<k≤6时，
g(x)的最小值为g(-(k-4)/2)=(-k²+20k-36)/4>0
∴2<k≤6时，g(x)≥g(-(k-4)/2)>0

∴当k>2时,在区间[-1,5]上，g(x)>0
∴在区间[-1,5]上，y=kx+3k的图像位于函数F（x）= -x²+4x+5图像的上方

追问

没看懂

Answer 2

函数在定义域内恒小于0，所以f（x）=-x²+4x+5，y=kx+3k的图像恒过（-3,0），由图像可得，x²-4x-5+kx+3k=0方程△=0解得k=2或k=18，所以解集为 （2，+ ∝）