Question

已知函数,g(x)=x/lnx,f(x)=g(x)-ax 若存在x1,x2属于[e,e^]使f(x1)<=f`(x2)+a(a>0)成立，求a的范围

已知函数,g(x)=x/lnx,f(x)=g(x)-ax 若存在x1,x2属于[e,e^]使f(x1)<=f`(x2)+a(a>0)成立，求a的范围

Answer 1

郭敦顒回答：
在x1,x2属于[e,e^]中“e^”为多少次方？

追问

2

追答

郭敦顒继续回答：
∵g(x)=x/lnx,f(x)=g(x)-ax
∴f(x)= x/lnx－ax=x（1/ lnx－a）
当x= e时，f(x)= e（1－a），
当x= e^2时，f(x)= e^2（1/2－a），
当x1= e时，f(x1)= e（1－a），当x2= e^2时，f(x2)= e^2（1/2－a），
∵f(x1)0)成立，∴e（1－a）<= e^2（1/2－a）+ a
∴（e^2－e－1）a<= （e^2）/2－e
∴3.67077427a<=0.976246222
∴a<=0.265951
当x1= e时，f(x1)= e（1－a），当x2= e时，f(x1)= e（1－a），
∴e（1－a）<=e（1－a）+a，∴0<= a。
当x1= e^2时，f(x1)= e^2（1/2－a），当x2=e时，f(x2)= e（1－a），
∴e^2（1/2－a）<= e（1－a） + a，
∴（e^2）/2－e <= （e^2－e+1）a
∴0.976246222<=5.67077427a
∴0.172153956<=a。
当x1= e^2时，f(x1)= e^2（1/2－a），当x2= e^2时，f(x2)= e^2（1/2－a），
∴e^2（1/2－a）<= e^2（1/2－a）+ a。∴0<= a。
综上得，0<= a<=0.265951。
a的取值范围是：[0，0.265951]。