Question

求函数f(x)=x³在(-∞,+∞)上是增函数

答案上谢了一大堆，感觉有点麻烦。不知道我的过程对不对。
设X①,X②是任意两个实数,且X①＜X②，则X②-X①＞0 ∴X②³＞X①³
∵f（X②）-f（X①）=X②³-X①³＞0
∴f(x)=x在(-∞,+∞)上是增函数

答案上很麻烦什么将X②³-X①³变成一个式子，然后当X①=0当X①≠0都有那个式子＞0

如果你们不知道我的对不对把你们的答案发过来我瞅瞅

Answer 1

简单的说，你这个证明等于没有证明。

题目本来就是要证明当x1＜x2的时候，x1³＜x2³。

结果你直接把条件一摆出来，直接就所以x1³＜x2³，这叫啥证明啊。

你需要证明的就是当x2-x1＞0的情况下，为什么x2³-x1³＞0。你需要证明这是怎么推导的。

这时候你不能说因为x2大，所以x2的立方大。因为“x2大，所以x2的立方大”这个结论本来就是题目要证明的东西。你不能拿正在要证明的东西就作为证据。那就是自我证明、循环证明。是一种错误的证明逻辑。

Answer 2

直接使用导数的定义可求
f(x)=x^3
所以f'(x)=3x^2在定义域(-∞,+∞)上恒大于等于0
由导数的定义可得：f(x)=x³在(-∞,+∞)上是增函数

Answer 3

楼主
X②-X①＞0 ∴X②³＞X①³
这一步出了问题。你仔细想想逻辑上的问题，已知a>b你怎么得到a³>b³？是不是无形当中已经用到了x³单调递增这个性质，才能得到a³>b³这个结论？只不过你用的时候没有感受到而已。这明显是已经用了你要证的那个结论再去证明。证明思路必须严谨，你假定出的条件是X①＜X②，最后就要确确实实落实到这个条件上，把式子化成一个(x[1]-x[2])×A的形式。
你说的变成一个很复杂的式子，那个不复杂，是初中学的一个公式（可能有的初中不讲吧），叫立方差公式。平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)你应该很熟悉，立方差公式是：
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
这个公式会经常用到，最好记住。也不难记，分解的形式a-b和平方差一样，另外一个a²+ab+b²就是完全平方公式里面少了一个ab。证明也很容易，右边的自己把括号打开乘一下就得到左边的结果。
然后用这个公式
x[1]³-x[2]³=(x[1]-x[2])(x[1]²+x[1]x[2]+x[2]²)
然后看后面的两项，x[1]-x[2]是小于0的，后面那一项是a²+ab+b²，对这个式子你要有个认识，就是它永远大于等于0。为什么呢？配一下方就知道。a²+ab+b²=(a²+ab+1/4 b²)+3/4b²=(a+b/2)²+3/4 b²
这是两个平方加起来的形式，不可能小于0，只有a、b全都是0的时候它才为0。（这个式子的配方我们也是初中讲过的，不知道楼主初中有没有学过）
然后就方便了，x[1]³-x[2]³分解成2项，一项小于0，另一项大于等于0，由于不可能x[1]、x[2]全都是0，所以后面一项是严格大于0的，一个负数和一个正数相乘，最终得到的数是负数，所以x[1]³-x[2]³<0，也就是f(x[1])<f(x[2])，这是个单调递增函数。

最后说一句，你要证明x[1]³<x[2]³，这是一个证明不等式的问题，数学里面证明不等式有多种方法，其中一种就是求差法，它的固定程序就是求差→分解因式→判断每一项的符号，上面的证明过程就是一个典型的求差法的例子。

已经采纳了也没事，有什么问题可以追问。

Answer 4

应该是你的X②-X①＞0 则X②³＞X①³得来太简单了，没有详细证明！

X②³-X①³=(X②-X①)(X②^2+X①X②+X①^2)
=(X②-X①)(X②^2+X①X②+1/4X①^2+3/4X①^2)
=(X②-X①)((X②+X①/2)^2+3/4X①^2)
(X②-X①)>0 ,(X②+X①/2)^2>0 且3/4X①^2>0 所以
(X②-X①)((X②+X①/2)^2+3/4X①^2)>0
所以才有：f（X②）-f（X①）=X②³-X①³＞0
∴f(x)=x在(-∞,+∞)上是增函数
注：符号^表示次方的意思

Answer 5

很简单啊，用导数来证明么。
f(x)'=3x² f(x)'在（-∞，+∞）有定义 且f(x)'>0, x∈（-∞，+∞）
所以f(x)=x³在（-∞，+∞）上是增函数。