Question

如图，△ABC的三边长分别是BC=17，CA=18，Ab=19，过△ABC内一点P向△ABC的三边分

如图，△ABC的三边长分别是BC=17，CA=18，Ab=19，过△ABC内一点P向△ABC的三边分别做垂线段PD、PE、PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF的长度。

Answer 1

连接AP、BP、CP，构成6个直角三角形，分别根据3对直角三角形的斜边边长相等，可以列出方程求解．解答：解：如图，连接PA，PB，PC，
设BD=x，CE=y，AF=z，
则DC=17-x，EA=18-y，FB=19-z，
在Rt△PBD和Rt△PFB中，
有x2+PD2=（19-z）2+PF2
同理有：y2+PE2=(17-x)2+PD2z2+PF2=(18-y)2+PE2
将以上三式相加，
得x2+y2+z2=（17-x）2+（18-y）2+（19-z）2
即17x+18y+19z=487
又因为x+y+z=27，
所以x=z-1，
所以BD+BF=x+（19-z）=z-1+19-z=18．点评：本题考查了勾股定理的灵活运用，主要是构建直角三角形，找到合适的直角三角形是解题的关键．