Question

已知，如图，在Rt△ABC中∠C=90°，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，C交CE的延长线于点F，求证：AB

已知，如图，在Rt△ABC中∠C=90°，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，C交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF。

Answer 1

连接DF，
∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBF．∴CD=BF．
∵CD=BD= BC，∴BF=BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．
答题不易，如果满意，请采纳，谢谢

Answer 2

证明：将DF与AB的交点设为G
∵∠ACB＝90,AC＝BC
∴∠CAD+∠ADC＝90，∠ACB＝45
∵CE⊥AD
∴∠BCF+∠ADC＝90
∴∠CAD＝∠BCF
∵BF∥AC
∴∠CBF＝∠BAC＝90
∴△ACD≌△CBF （ASA）
∴BF＝CD
∵D是BC的中点
∴CD＝BD
∴BF＝BD
∴∠BDF＝45，B在DF的垂直平分线上
∴∠BGD＝90
∴AB垂直平分DF