Question

已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5)且f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线

已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5)且f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线6x+y+1=0平行
求f(x)解析式
是否存在t为正整数，使得方程f(x)+37/x=0在区间[t,t+1]内有两个不等实数根

Answer 1

答：
（1）
f(x)=ax²+bx+c，f(x)<0的解集是（0,5）
说明：a>0，并且x=0和x=5是二次函数与x轴的零点
把点（0,0）和（5,0）代入得：
0+0+c=0…………………………（1）
25a+5b+c=0………………………（2）
对f(x)求导得：f'(x)=2ax+b
在点x=1处的切线与直线6x+y+1=0平行
所以：f'(1)=-6
所以：f'(1)=2a+b=-6………………（3）
联立（1）、（2）和（3）解得：
a=2，b=-10，c=0
所以：f(x)的解析式为f(x)=2x²-10x

（2）
方程 f(x)+37/x=(x²-10x+37/x=0在[t,t+1]内有两个不等实数根
因为：t+1-t=1，t为正整数
所以：即是说方程的两个不等实数根之差不超过1并且不小于-1
方程两边同乘以x>=t>0，化简方程得：
g(x)=2x³-10x²+37=0，x>0
对g(x)求导：g'(x)=6x²-20x
解g'(x)=0得：x1=0，x2=10/3
当0<x<10/3时，g'(x)<0，g(x)是减函数
当x>10/3时，g'(x)>0，g(x)是增函数
所以：x=10/3时，g(x)取得最小值
g(10/3)=2000/27-1000/9+37=-1/27<0
g(0)=37
所以：g(x)=0存在两个不等的实数根。
因为：
g(3)=2*27-10*9+37=1>0
g(4)=2*64-10*16+37=5>0
所以：g(x)=0的两个实数根在区间(3,10/3)和区间(10/3,4)之间
因为：4-3=1
所以：t=3，即g(x)=0的两个不相等的实数根在区间[3,4]之间

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c
∵不等式f(x)<0的解集是(0,5)
∴a＞0且0，5是方程ax^2+bx+c=0的两个根∴0=0+0+c,c=0且0=25a+5b∴-b=5a
∵(1,f(1))处的切线与直线6x+y+1=0平行
∴这条切线是一次函数y=kx+b,∵平行∴k=-6
将（1，f(1)）代入直线得f(1)=-6+b∴b=f(1)+6∴y=-6x+f(1)+6
∵是切线，∴直线与抛物线只有一个交点
那么方程组：y=ax^2+bx
y=-6x+f(1)+6
只有一个解:ax^2+bx=-6x+a+b+6 化简得(∵上有-b=5a):ax^2+(-5a+6)+4a-6=0
b^2-4ac=(-5a+6)^2-4*a*(4a-6)=0
解得：9a^2-36a+36=0
a^2-4a+4=0
(a-2)^2=0
∴a=2 ∵-b=5a∴b=-10
∴f(x)=2x^2-10x
(先写第一问，第二问追问)

Answer 3