Question

已知函数f(x)=2(sinx+cosx)+2sinxcosx+1,求f(x)的值域

（1）求函数的值域；
（2）若不等式f(x)≥m对于x∈【0，π/2】都成立，求m的最大值

Answer 1

答：
f(x)=2(sinx+cosx)+2sinxcosx+1
=2(sinx+cosx)+2sinxcosx+sin²x+cos²x
=2(sinx+cosx)+(sinx+cosx)²
=(sinx+cosx+1)²-1

（1）设t=sinx+cosx∈[-√2，√2]
所以：f(x)=(t+1)²-1
对称轴t=-1，最小值-1
t=√2时取得最大值，最大值(√2)²+2√2=2√2+2
所以：f(x)的值域为[-1，2√2+2]

（2）0<=x<=π/2，t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[1，√2]
所以：f(t)的值域为[3，2√2+2]
f(x)>=3>=m
所以：m的最大值为3

Answer 2

设sinx+cosx为t，t属于负根号2到正根号2，则fx=t方+2t，直域（-根号2-1，根号2-1）
fx=根号2sin（x+pai\4）所以m最大值为1