Question

急急！！数学高手求解。已知集合M={x||x+1|+|x-3|>8},P={x|x^2+(a-8)x-8a≤0}

求a的一个取值范围，使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要不充分条件

Answer 1

（1）若M∩P={x|5＜x≤8}，求a的取值范围
（2）求a的取值范围，使x∈P是x∉M的必要非充分条件1）解M：
x>3时， x+1+x-3>8, 得：x>5
-1<x<=3时，x+1+3-x>8, 无解
x<=-1时，-x-1+3-x>8, 得：x<-3
即M=｛x|x>5 or x<-3}
M∩P={x|5＜x≤8}，则记f(x)=x^2+(a-8)x-8a=0的两根为x1<x2, 则P={x|x1=<x<=x2}
需有：x2=8, -3=<x1<=5
由f(x2)=f(8)=64+8(a-8)-8a=0 ， 知8为其中一根
因此有：f(-3)=9-3(a-8)-8a=33-11a>=0, 得：a<=3
f(5)=25+5(a-8)-8a=-3a-15<=0, 得：a>=-5
综合得：-5=<a<=3

2) x∉M, 则须有：-3=<x<=5
这是必要且充分的。
如果是必要非充分的，表明f(x)=x^2+(a-8)x-8a=0的两根中x1<=-3, x2>=5, 且其中一个不能取等号。因为x2=8, 因此必有x1<=-3
得：f(-3)=33-11a<=0, 得：a>=3在M={x︱︱x+1︱+︱x-3︱>8},P={x︱x^2+(a-8)x-8a≤0}的前提下
（1）求a的值是它成为M∩P={5<x≤8}的一个充分不必要条件
(2）求a的值是它成为M∩P={5<x≤8}的一个必要不充分条件
解:︱x+1︱+︱x-3︱>8
①x＜-1时:-(x+1)-(x-3)＞8∴x＜-3.
②-1≤x≤3时:(x+1)-(x-3)＞8,即4＞8,∴x不存在.
③x＞3时:(x+1)+(x-3)＞8,即x＞5.
∴M={x|x＜-3或x＞5}.
x^+(a-8)x-8a≤0,即(x+a)(x-8)≤0.
①-a＜8,即a＞-8时:-a≤x≤8
②-a=8,即a=-8时:x=8
③-a＞8,即a＜-8时:8≤x≤-a

若使M∩P={5<x≤8},则满足-a＜8且-a＜5且-a≥-3即-5＜a≤3.
∴充分必要条件是:-5＜a≤3.

(1)它的一个充分不必要条件如:a=1,或-5＜a≤2等.

(2)求a的值是它成为M∩P={5<x≤8}的一个必要不充分条件
-a＜5即a＞-5.如:-5＜a＜6.

Answer 2

先解出M,绝对值不等式，去绝对值，分类讨论一下，①若x＜-1,-(x+1)-(x-3)＞8,∴x＜-3∵x＜-1∴x＜-3；②若-1≤x≤3,x+1-(x-3)＞8∴无解舍去； ③若x＞3,x+1+x-3＞8,∴x＞5∵x＞3∴x＞5
综上M=﹛x/x＜-1或x＞5﹜
P中方程用十字相乘法变成：（x-8）*（x+a）≤0∴x1=8；x2=-a ,x1-x2=8+a 。这个还要分三种情况讨论一下，①若8+a＞0即a＞-8，则P=﹛x/-a≤x≤8﹜ ②若8+a=0,则P=﹛8﹜③若8+a＜0,即a＜-8则P=﹛x/8＜x＜-a﹜