Question

（满意加10分）一道数学题

设实数x,y满足x^2+(y-1)^2≤1,则x+y的最小值是

答案是1-根号2

求过程

Answer 1

 

x^2+(y-1)^2≤1,表示圆跟圆的内部，设z=x+y

由图知直线y=-x+z与圆的下方相切时截距最小，即z最小

此时，圆心（0,1）到直线x+y-z=0的距离等于半径1

所以用点到直线的距离公式有|1-z|/√2=1，解得z=1±√2.，取＋时得到z的最大值，取-时得到z的最小值，所以z的最小值为1-√2.

Answer 2

∵2xy
=（x+y）^2-（x^2+y^2）
=（x+y）^2-1
=（x+y+1）（x+y-1）
∴2xy/(x+y-1)
=x+y+1
≥-√[2（x^2+y^2）]+1
=1-√2，
∴2xy/(x+y-1)的最小值为1-√2.

Answer 3

画出x^2+(y-1)^2≤1的图。x和y的范围就是圆上和园内，要让x+y最小，就是x+y=z中的z最小，就是x+y=z与圆向切后截距z最小。所以就是x=-2分子根号2.y=1-2分子根号2。