Question

已知函数f(x)定义在区间（-1，1）上，f(1/2)=-1,且当x,y属于(-1,1)时，恒有f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy)),

已知函数f(x)定义在区间（-1，1）上，f(1/2)=-1,且当x,y属于(-1,1)时，恒有f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy)),
（1）求f（0）的值，并证明f（x）在（-1,1）上为奇函数。
（2）探索f（xn+1）与f（xn）的关系式，并求f（xn）的的表达式。
（3）是否存在自然数m，使得对应的n∈N*。1/f(x1)+1/f(x2)+……+1/f(xn)>(m-8)/4恒成立，若存在求m的最大值。

----题有些麻烦，请尽量回答吧，谢！

Answer 1

(1) 令x=y得到f(0)=0
令x=0得到-f(y)=f(-y)
得证

(2) a[n+1]=2a[n]/(1+a[n]�0�5) 整理一下 a[n]=(a[n+1]-a[n])/(1-a[n]a[n+1]) //这样整理，是把表达式乘开后，与题设条件作比较，凑上去

还不能直接写 f(a[n+1])-f(a[n])=f(a[n]) 一定要a[n]全落在定义域内

右边整理一下 a[n+1]=2(1/a[n]+a[n])，利用基本不等式，确定，我们可以写：

f(a[n+1])=2f(a[n]); f(a[1])=-1
这就是个等比数列吧，轻松

(3) 嗯？f(a[n])全都是负的？那就不是说b[1]最大，直接拿b[1]做就是了？是不是我前面算错了
假如前面有错，但只要b[n]仍旧是个等比数列的和，能表示出来的，总能做的

Answer 2

函数f(x)定义在区间（-1，1）上，当x,y属于(-1,1)时，恒有f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy)),
则取x=y,有f(0)=0;取x=0，有-f(y)=f(-y),
所以f(x)在(-1,1)上是奇函数。
取y=-x，有f(2x/(1+x^2))=2f(x);
由an+1=(2an)/(1+an^2),a1=1/2,
得(1-an)^2>0，an属于(-1,1),
所以f(an+1)=f[(2an)/(1+an^2)]=2f(an),
又a1=1/2，f(1/2)=-1,得数列{f(an)}为首项-1，公比2的等比数列，f(an)=-2^(n-1).
"设bn=1/f(a1)+.....1/f(an)"条件没有用。
是不是要求数列{bn}的通项啊？