Question

数列难题求解

已知数列{An}的通项公式为An=1/n，其前n项和为Sn，S3n-Sn>2m-3对一切大于1的自然数都成立，求m的取值范围

Answer 1

[S(3n+3)-S(n+1)]-[S(3n)-Sn]
=[S(3n+3)-S(3n)]-[S(n+1)-Sn]
=1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/(3n+3)-1/(n+1)
=1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/(3n+3)-3/(3n+3)
=[1/(3n+1)-1/(3n+3)]+[1/(3n+2)-1/(3n+3)]+[1/(3n+3)-1/(3n+3)]
>[1/(3n+3)-1/(3n+3)]+[1/(3n+3)-1/(3n+3)]+[1/(3n+3-1/(3n+3)]
=0
即随n增大，S(3n)-Sn单调递增，要使S(3n)-Sn>2m-3对于一切>1的自然数都成立，则只需当n取最小值时，不等式仍成立。
令n=2(此处令n=2，是因为你写的是所有>1的自然数，不包括1，你自己看一下，原题到底是不是包括1)
S6-S2=1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6-1/1-1/2=1/3+1/4+1/5+1/6=19/20
2m-3<19/20
m<79/40
m的取值范围为(-∞，79/40)

提示：本题关键是判断S(3n)-Sn的单调性，结果是单调递增的，那么只要S(3n)-Sn取最小值时不等式成立，则对于所有的满足题意的n，不等式恒成立。