Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F．（1）求证：∠DCP=∠DAP；
（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，
①求证：PA=1/2PB
②求对角线BD的长

Answer 1

1、证明：
∵菱形ABCD
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB
∵DP＝DP
∴△ADP≌△CDP （SAS）
∴∠DCP＝∠DAP
2、
1）证明：连接DF、AC，AC交BD于O
∵AB∥CD
∴CD/BF＝DP/PB
∵DP：PB＝1：2
∴CD/BF＝1/2
∴BF＝2CD
∵菱形ABCD
∴AB＝AD＝CD＝BC
∴AF＝AB＝AD
又∵AB∥CD
∴∠CDA＝∠FAD，∠DCF＝∠F
∴△AEF≌△DEC （ASA）
∴AE＝DE，CE＝EF
∵PA⊥BF
∴∠DAP+∠FAD＝90
∴∠DCP+∠CDA＝90
∴∠CED＝90
∴AD、CF互相垂直平分
∴菱形ACDF
∴AC＝AF
∴AC＝AB
∴等边△ABC
∴∠ABC＝60
∴∠ABD＝∠ABC/2＝30
∴PA＝PB/2
2）解：
∵菱形ABCD
∴AC⊥BD,BD＝2BO
∵∠ABD＝30,AB＝2
∴BO＝AB×√3/2＝2×√3/2＝√3
∴BD＝2BO＝2√3

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