Question

为什么定积分有正负值？

Answer 1

1、若f(x)≥0，x∈[a,b]，∫(a→b)f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x)，x=a，x=b，y=0围成的曲边梯形的面积。

2、若f(x)≤0，x∈[a,b]，∫(a→b)f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x)，x=a，x=b，y=0围成的曲边梯形的面积的相反数。

3、若f(x)在区间[a,b]上有正有负时，∫(a→b)f(x)dx的几何意义为曲线y=f(x)在x轴上方部分之下的曲边梯形的面积取正号，曲线y=f(x)在x轴下方部分之上的曲边梯形的面积取负号，构成的代数和。

定积分的意义：

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

Answer 2

问得好！问到了我们的致命伤！

1、从定积分解决面积问题、体积问题、、、、而言，确实不应该有负值出现。
有负值出现的原因，一般是由于我们很多教师误导所造成的。

无论计算面积，还是体积；无论是用一重积分，二重积分，或多重积分，
如果严格沿着坐标轴的方向积分，就不会出现负值。

以面积为例，如果是一重积分，就是上面的曲线函数减去下面的曲线函数，
然后沿着x轴积分，就不会出错，一定为正。

遗憾的是，太多的教师，不分青红皂白拿起函数就积分，尤其是在x轴下方
的曲线，他们仍然稀里糊涂地拿起来就积分，然后再加上一个负号，凑成
答案糊弄学生。如果用上方的函数y=0减去下方的函数，就不会多此一举地
再加一个负号，在概念上也就完美无缺了。可是我们的教师们，很多不是如
此这般，而是硬拗，歪解，废铜烂铁就此炼成了。

如果是二重积分计算面积，上面的问题就自然避免了，可是我们太多的教师
没有从二重积分中make sense，也就是没有真正去理解二重积分的过程，当
他们用一重积分计算时，就彻底忘记了二重积分的实质，依然胡乱积分，然
后牵强附会地加上一个负号，凑出答案，糊弄一通。

这是第一种情况。

2、第二种情况是，计算的具体问题的物理意义发生变化时，出现负号是在所难免的。
例如计算电量、计算焓变、计算熵变时，等等等等，出现负值是由具体的物理意
义和物理过程决定的。

3、第三重情况是，在定积分的过程中，不可能总是沿着一个方向，尤其是到了二维
跟二维以上的空间积分时，沿着坐标轴的反方向积分时，出现负值也是自然而然
的事情。

4、第四种情况，作为纯数学研究、计算、练习，脱离了具体的物理意思时，对x轴下
方的函数进行积分，也无可非议，出现负值是必然的。

Answer 3

我想你可能有一个先入为主的高中概念“定积分用来求面积”结果是正的。定积分是从解决某些量的累积问题中抽象出的一个“数学概念”。它不仅仅停留在解决几何问题。定积分是一个极限问题， 分化 代替 求和 取极限 四步，极限可正可负。当然解释时还是利用了它的几何意义，由于f（x）可正可负，其中求和 取极限后结果也是可正可负的 由于电脑软件公式编辑出啦问题没有编辑公式 希望有帮助 可以追问明天可以编辑公式解答

Answer 4

1. 定义如此，在x轴上的部分的面积为正，x轴下的为负

2. 看牛顿莱布尼兹公式假设原函数是F(x),则定积分=F(b)-F(a)，没有说F(b)一定>F(a)的

不明白可追问

Answer 5

(定积分的几何意义)
（1）若f(x)≥0,x∈[a,b]，∫(a→b)f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0围成的曲边梯形的面积；
(2)若f(x)≤0,x∈[a,b]，∫(a→b)f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0围成的曲边梯形的面积的相反数；
(3)若f(x)在区间[a,b]上有正有负时，∫(a→b)f(x)dx的几何意义为曲线y=f(x)在x轴上方部分之下的曲边梯形的面积取正号，曲线y=f(x)在x轴下方部分之上的曲边梯形的面积取负号，构成的代数和。