Question

已知定义在区间[0，1]上的两个函数f（x）和g（ x），其中f（x）=x2-ax+2

已知定义在区间[0，1]上的两个函数f（x）和g（ x），其中f（x）=x2-ax+2（a≥1），g(x)= x2/x+1 ． （1）求函数y=f（x）的最小值m（a）
；（2）若对任意x1、x2∈[0，1]，f（x2）＞g（x1 ）恒成立，求a的取值范围

Answer 1

解：（1）当a/2>1时，a>2,f(x)的最小值m(a)=f（1）=1-a+2=3-a
当1/2<=a/2<=1时，1<=a<=2,f(x)的最小值m(a)=f(a/2)=a^2/4-a^2/2+2=2-a^2/4

(2)若对任意x1,x2∈[0,1],f(x2)>g(x1)恒成立
即：求g(x1)的最大值<f(x2)的最小值
g(x)=x^2/(x+1)=[(x^2-1)+1]/(x+1)=(x-1)+1/(x+1)=(x+1)+1/(x+1)-2
0<=x<=1,1<=x+1<=2
g(x1)最大值=g(1)=1/(1+1)=1/2

即：f(x)的最小值>1/2
由（1）知
当a>2时，3-a>1/2,==>a<5/2,故有2<a<5/2
当1<=a<=2时，2-a^2/2>1/2,==>a^2<3,得到1<=a<√3

综上，当1<=a<√3或2<a<5/2时，若对任意x1,x2∈[0,1],f(x2)>g(x1)恒成立