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[解]
∵x^2f′(x)+2xf(x)=e^x/x,∴x^2f′(x)=e^x/x-2xf(x),
∴f′(x)=[e^x/x-2xf(x)]/x^2,
令f′(x)=0,得:e^x/x-2xf(x)=0,∴f(x)=e^x/(2x^2)。
令f(x)=e^x/(2x^2)中的x=2,得:f(2)=e^2/8,这说明,当f′(x)=0时,有:x=2。
∴当f(x)有极值时,就在x=2时取得。······①
由x^2f′(x)+2xf(x)=e^x/x,两边取导数,得:
2xf′(x)+x^2f″(x)+2f(x)+2xf′(x)=(xe^x-e^x)/x^2,
∴当f(x)有极值时,有:x^2f″(x)+e^x/x^2=(xe^x-e^x)/x^2,
∴f″(x)=(xe^x-2e^x)/x^4。
∴f″(2)=(2e^x-2e^2)/16=0,∴当x=2时,f(x)没有极值。······②
综合①、②,得:f(x)没有极值,∴本题的答案是D。
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追答
一、∵f(x)=e^x/(2x^2)是由f′(x)=0推导出来的,
如果在f′(x)=0时,x≠2,那么就不可能得出题目给定的f(2)=e^2/8。
二、若f′(m)=0,则:
f″(m)<0时,f(x)有极大值=f(m),f″(m)>0时,f(x)有极小值=f(m)。
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