Question

2013辽宁高考理科数学选择题12题详细解答

跪求高手解答

Answer 1

［解］

∵x^2f′（x）＋2xf（x）＝e^x/x，∴x^2f′（x）＝e^x/x－2xf（x），

∴f′（x）＝［e^x/x－2xf（x）］/x^2，

令f′（x）＝0，得：e^x/x－2xf（x）＝0，∴f（x）＝e^x/（2x^2）。

令f（x）＝e^x/（2x^2）中的x＝2，得：f（2）＝e^2/8，这说明，当f′（x）＝0时，有：x＝2。

∴当f（x）有极值时，就在x＝2时取得。······①

由x^2f′（x）＋2xf（x）＝e^x/x，两边取导数，得：

2xf′（x）＋x^2f″（x）＋2f（x）＋2xf′（x）＝（xe^x－e^x）/x^2，

∴当f（x）有极值时，有：x^2f″（x）＋e^x/x^2＝（xe^x－e^x）/x^2，

∴f″（x）＝（xe^x－2e^x）/x^4。

∴f″（2）＝（2e^x－2e^2）/16＝0，∴当x＝2时，f（x）没有极值。······②

综合①、②，得：f（x）没有极值，∴本题的答案是D。

追问

大侠

这两步不怎么懂，拜谢指教

追答

一、∵f（x）＝e^x/（2x^2）是由f′（x）＝0推导出来的，
　　如果在f′（x）＝0时，x≠2，那么就不可能得出题目给定的f（2）＝e^2/8。
二、若f′（m）＝0，则：
　　f″（m）＜0时，f（x）有极大值＝f（m），f″（m）＞0时，f（x）有极小值＝f（m）。

追问

大侠，那还会不会有其他的x≠2的X使f′（x）＝0呢。我觉得这好像只能说明x＝2满足f′（x）＝0。

Answer 2