Question

已知函数f(x)＝9^x－m3^x＋m＋1，x∈(0,＋∞)的图像恒在x轴上方，则m的取值范围

Answer 1

答：

f(x)=9^x-m*3^x+m+1

=(3^x)²-m*3^x+m+1

x>0

令t=3^x>1

f(t)=t²-mt+m+1图像恒在x轴上方

即：f(t)没有零点

所以：f(t)=t²-mt+m+1>0

整理得：m(t-1)<t²+1

所以：m<(t²+1)/(t-1)=[(t-1)²+2(t-1)+2]/(t-1)=t-1+2/(t-1)+2

因为：t-1+2/(t-1)+2>=2√[(t-1)*2/(t-2)]+2=2√2+2

当且仅当t-1=2/(t-1)即：t-1=√2，t=√2+1时取得最小值

所以：m<2√2+2

Answer 2

f(x)=(3^x-m+11)(3^x-1),x∈(0,＋∞)的图像恒在x轴上方
所以3^x-1＞0
只要3^x-m+1＞0成立即可。
即3^x+1＞m
所以m＜2

Answer 3

设3∧x=t，f（t）=t²-mt+m+1，t＞0，对称轴t=m/2，因为在x＞0时成立，所以t＞1，把m/2带入，使最小值＞0，m/2＞1，即可求m的取值范围2＜m＜2+2根号2

Answer 4

换元，令t=3∧x,得f（x）=t∧2-mt+m+1,函数大于0恒成立，即最小值大于0利用二次函数解，但是要考虑新元t的范围