Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2-a^2x(a>0)的两个极值点x1,x2满足|x1|+|x2|=2根号2,则b的最大值为

Answer 1

∵f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0），依题意，x1、x2是方程f′（x）=0的两个根，
∵x1x2=-a/3＜0且|x1|+|x2|=2根号2
，
∴(x1-x2)^2=8．
∴(-2b/3a)^2+4a/3=8，
∴b^2=3a^2（6-a），
∵b^2≥0，
∴0＜a≤6．
设p（a）=3a^2（6-a），则p′（a）=-9a^2+36a．
由p′（a）＞0得0＜a＜4，由p′（a）＜0得a＞4，
即p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时p（a）有极大值96．
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为4根号6

O(∩_∩)O~，还有什么不明白吗？

Answer 2

答：
f(x)=ax³+bx²-a²x
求导：f'(x)=3ax²+2bx-a²
极值点x1和x2满足方程3ax²+2bx-a²=0
根据韦达定理有：
x1+x2=-2b/(3a)
x1*x2=-a/3
|x1|+|x2|=2√2
两边平方得：
x1²+2|x1*x2|+x2²=8
(x1+x2)²-2x1*x2+2|x1*x2|=8
4b²/(9a²)+2a/3+2|-a/3|=8
b²/a²+3a=18
b²=(18-3a)a²>=0

设g(a)=(18-3a)a²=18a²-3a³
求导：g'(a)=36a-9a²
解g'(a)=0得：a=4（a=0不符合a>0舍去）
当0<a<4时，g'(a)>0，g(a)是增函数
当a>4时，g'(a)<0，g(a)是减函数
所以：a=4时，g(a)取得最大值g(4)=(18-12)(4)²=96
所以：b²=(18-3a)a²<=96
所以：b的最大值为4√6