Question

1、设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a+b-c)=ac.

（1）求∠B.
（2）若sinAsinC=（根号3-1）/4，求∠C.

Answer 1

你抄错题了吧？(a+b+c)(a+b-c)=ac ?，应该是(a+b+c)(a-b+c)=ac吧。
1.
(a+c)²-b²=ac
a²+2ac+c²-b²=ac
a²+c²-b²=-ac
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(-ac)/(2ac)=-1/2
B=2π/3
2.
(sinA+sinC)²-sin²(2π/3)=sinAsinC
(sinA+sinC)²=sinAsinC+sin²(2π/3)=(√3-1)/4+3/4=(√3+2)/4=(4+2√3)/8
sinA+sinC=(√3+1)/(2√2)=(√6+√2)/4
sinA、sinC是方程x²-[(√6+√2)/4]+(√3-1)/4=0的两根。
4x²-√2(√3+1)x +(√3-1)=0
[2√2x-(√3-1)](√2x -1)=0
x=(√6-√2)/4或x=√2/2
C=15°或C=45°。

Answer 2

(a+b+c)(a-b+c)=ac.
a^2+c^2-b^2+2ac=ac
a^2+b^2-c^2=-ac
由余弦定理得：cosB=(a^2+b^2-c^2)/2ac= -1/2
又因为0＜B＜π，所以∠B=120度

∠A＝180°-120°-∠C=60°-∠C
sinAsinC= (√3-1)/4
sin(60°-C)sinC=(√3-1)/4.
√3cosCsinC/2-sin²C/2=(√3-1)/4
√3sin(2C)/4-[1-cos(2c)]/4=(√3-1)/4
sin(2C+30°)=√3/2
∠C=15°或45°