Question

微积分，关于求导数的例题的疑惑

如图，红线部分，分子，为什么 (1+x)^(1/x) 不直接转化成e,而是要大费周章呢？
既然红色暗示不能这么做，那么看蓝线部分，这个 等价无穷小 成立的条件是 趋向0，而且这里很显然为了能够使其趋向0，又默认 可以(1+x)^(1/x) 等于e了。
谢谢各位的回答，但是我还是没有理解。我想了一下，换个提问方式也许能使事情更容易得到解决：
我把红线部分改成如图所示的分式，有什么不妥？

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Answer 1

首先，对于0/0型的极限，不能直接将x带入求极限。
直接用红线的分式，我们就不能用洛必达法则了，因为(1+x)^(1/x)的导数会更复杂，你可以试试。
所以书中就利用括号中的等价关系，将原分式变成了可以用洛必达法则的形式。因此，之所以进行这样的变换的根本原因就是为了运用洛必达法则将问题简化。

一定要牢记，如果分子和分母的极限都是0（比如你补充的式子），你不能用常规的带入法求极限。一般都是利用洛必达法则将0/0型的极限转化为分母不为0的形式，再求极限。而这道题较特殊，直接利用洛必达法则也不行，所以要先做一些变换（技巧性较强），这就是为什么书中会那样做了。

Answer 2

“为什么 (1+x)^(1/x) 不直接转化成e”
答：加法和减法中不能用等价无穷小，乘法和除法中可以。

”蓝线部分，这个 等价无穷小 成立的条件是 趋向0“
答：e^(-1) *(1+x)^(1/x) - 1 = e^[x^(-1)*ln(1+x) -1] -1 ～ x^(-1)*ln(1+x) -1
这里用了e^y -1 ～ y, 当y趋向于0.

Answer 3

实际上红线处是0/0型不定式，比如求导数的时候f(x+Δx)-f(x)/Δx的f(x+Δx)同样不能以f(x)代替，这是同一个道理。乘除的极限化为极限的乘除必须要求极限存在

Answer 4

因为(1+x)^(1/x)不等于e，而是其极限值=e:lim(1+x)^(1/x)=e(x→0)
蓝色部分是对推导过程的解释，而且连接的不是等号，而是～,表示接近的意思，即“～”两边的差值随着x→0无限减小，只有当x→0时才能将“～”换成“=”：

Answer 5

不建议用它的方法解，你自己用罗比他法则求不就完了吗？
看它解的过程觉得没有一般性，别看它的解法也罢。

Answer 6

如果直接化简，就会在分母保留X，结果没法用。而极限的目的就是要消掉所有出现的增量X，蓝线部分也没有直接默认 可以(1+x)^(1/x) 等于e，而是用公式改写 X-1＞㏑X