在直角三角形中:勾股定理a²+b²=c²是怎样证明而得到的?
利用切割线定理证明:
在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º,点C在⊙B上,所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理,得
AC^2=AE·AD
=(AB+BE)(AB-BD)
=(c+a)(c-a)
=c^2-a^2,
即b^2=c^2-a^2,
∴ a^2+b^2=c^2
扩展资料:
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。
在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
勾股定理的意义:
1、勾股定理的证明是论证几何的发端;
2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理,即它是第一个把几何与代数联系起来的定理;
3、勾股定理导致了无理数的发现,引起第一次数学危机,大大加深了人们对数的理解;
4、勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程,它引出了费马大定理。
具体的证明方法有几百种
我给你介绍一种最经典的吧,几何之父欧几里得的证法:
设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。
在正式的证明中,需要四个辅助定理如下:
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理)
三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。
证明的概念为:
把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
其证明如下:
设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。
几何原本 证明示意图
其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。
分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H。
∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。
因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须全等于△FBC。
因为 A 与 K 和 L在同一直线上,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。
因为C、A和G在同一直线上,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。
因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = (AB)²。
同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH =(AC)²。
把这两个结果相加, (AB)²+(AC)² = BD×BK + KL×KC
由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC
由于CBDE是个正方形,因此(AB)² + (AC)² =(BC)²。
上面的证明过程写得比较细
其实考试时过程不必写这么详尽,主要思路清晰就行
(关于欧氏几何的经典证法很容易考到)
勾股定理(毕达哥拉斯定理)有许多证明方法,路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。一个定理越是基础,越是可以从不同的路径达到。引用自知乎链接:https://www.zhihu.com/question/22548234
下面这个证明可能算不上漂亮,但它的身世很有趣,因为它并非出自数学家之手,相反,提出它的人干的是可能最世俗、离象牙塔最远的工作——他是个政客。这是第十二任美国总统加菲尔德1863年发表在一份期刊上的勾股定理的梯形证明:
直角三角形ABC与三角形BDE全等,将它们如图平放,构成一个梯形AEDC。
因为两个直角三角形是平放的,C,B,D共线,所以 ∠CBD = 180°
而 ∠β + ∠EBD = ∠β + ∠α = 90°, 可知∠ABE = 90°
梯形面积 = 三个三角形面积相加
1/2 * (a+b)²= 1/2 * c² + 1/2 *ab + 1/2 * ab
化简得 a²2 + b²= c²
至于漂亮的证明,如果说简洁就是美的话,那么越简洁的证明越美,无言的证明就是最美的。下面这个证明接近于无言。用四个阴影三角形拼成一个新正方形(右)后,新正方形面积与左边的原正方形相等, a² + b² = c²一目了然。
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