Question

微积分第一章的课后题，极限和连续那里的~求下面图片函数的间断点，并指出其类型

求大神指导，下面是图片

Answer 1

讨论x是因为不同的x会导致e^(tx)和xe^(tx)的极限不同

很明显的是x的符号

1. x=0

   原式=(1-0)/(0+1)=1

   2.  x>0

        所以e^(tx)->e^(﹢∞)->﹢∞

        分子分母同除e^(tx)

        y=lim x->+∞ (e^(-tx)-x)/(xe^(-tx)+1)

        因为e^(-tx)=1/e^(tx)->1/+∞->0

        所以极限=(0-x)/(0+1)=-x

   3.  x<0

        所以e^(tx)->e^(-∞)->0

        所以取极限可得

        y=(1-0)/(x+0)=1/x

综上可知极限有三种

x=0,y=1

x>0,y=-x

x<0,y=1/x

Answer 2

首先把极限求出来，看完上面大神的指导，要先讨论X，当x>0,y=-x,然后讨论这个函数的间断点，明显是连续函数，因此无间断点.然后再讨论X<0，X=0

Answer 3

分段讨论：
（1）对 x = 0，y = 1；
（2）对 x ≠ 0，利用L'Hospital法则，
y = lim(t→+∞)[1-x(e^tx)]/[x+(e^tx)] (∞/∞)
= lim(t→+∞)[-(x^2)(e^tx)]/[1+x(e^tx)] (∞/∞)
= lim(t→+∞)[-(x^3)(e^tx)]/[(x^2)(e^tx)]
= -x。
即所求为
y = 1，x = 0，
= -x，x ≠ 0。