Question

关于导数的问题

(1)要造一个容积为v的圆柱形闭合油罐，问底半径r和高h等于多少时，能使表面积最小？这时底半径与高的比是多少？(2)从直径为d的圆形树干切出横截面积为矩形的梁，此矩形的底等于b，高等于h，若梁的强度与bh^2成正比，问梁的尺寸为多少时，其强度最大？要求：要有详细的解题过程

Answer 1

1、导数的定义
设函数y=f(x)在点x=x0及其附近有定义，当自变量x在x0处有改变量△x（△x可正可负），则函数y相应地有改变量△y=f(x0＋△x)－f(x0)，这两个改变量的比叫做函数y=f(x)在x0到x0＋△x之间的平均变化率.
如果当△x→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，这个极限叫做f(x)在点x0处的导数（即瞬时变化率，简称变化率），记作f′(x0)或，即
函数f(x)在点x0处的导数就是函数平均变化率当自变量的改变量趋向于零时的极限．如果极限不存在，我们就说函数f(x)在点x0处不可导.
2、求导数的方法
由导数定义，我们可以得到求函数f(x)在点x0处的导数的方法：
（1）求函数的增量△y=f(x0＋△x)－f(x0)；
（2）求平均变化率；
（3）取极限，得导数
3、导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0，f(x0)）处的切线的斜率f′(x0).
相应地，切线方程为y－y0=
f′(x0)(x－x0).
4、几种常见函数的导数
函数y=C（C为常数）的导数
C′=0.
函数y=xn（n∈Q）的导数
(xn)′=nxn－1
函数y=sinx的导数
(sinx)′=cosx
函数y=cosx的导数
(cosx)′=－sinx
5、函数四则运算求导法则
和的导数
(u＋v)′=u′＋v′
差的导数
(u－v)′=
u′－v′
积的导数
(u·v)′=u′v＋uv′
商的导数
.
6、复合函数的求导法则
一般地，复合函数y=f[φ(x)]对自变量x的导数y′x，等于已知函数对中间变量u=φ(x)的导数y′u，乘以中间变量u对自变量x的导数u′x，即y′x=y′u·u′x.
7、对数、指数函数的导数
（1）对数函数的导数
①；
②.公式输入不出来
其中（1）式是（2）式的特殊情况，当a=e时，（2）式即为（1）式.
（2）指数函数的导数
①(ex)′=ex
②(ax)′=axlna
其中（1）式是（2）式的特殊情况，当a=e时，（2）式即为（1）式.
导数又叫微商，是因变量的微分和自变量微分之商；给导数取积分就得到原函数（其实是原函数与一个常数之和）。
把公式记住了就好做了

Answer 2

第一题：v=πr平方乘以h了。s=2πrh。化简得s=2v/r。第二题：d的平方=b的平方+h的平方。强度=kbh^2化简得强度=kb(d^2-b^2)对其求导，解得d=根号3倍的b

Answer 3

（1）v=pi*r*r*h, h=v/(pi*r*r)S=2pi*r*h + 2*pi*r*r=2v/r+2pi*r*r对S求导，S‘=-2v/r^2 + 4*pi&r当S‘=0，求出r。然后把几个r分别代入，比较哪个相应的S最小。然后再求出h