Question

已知函数f(x)是负无穷到正无穷上的奇函数,且f(x)的图像关于x=1

已知函数f(x)是(负无穷，正无穷)上得奇函数，且f(x)的图像关于x=1对称 当x属于[0，1]时 f(x)=(2^x)-1
求证，函数f(x)是周期函数
当x属于[1，2]时 求f(x)的解析式
计算f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2013)的值

Answer 1

（1）因为f(x)关于x=1对称，所以f(1-x)=f(1+x)，奇函数，所以f(-x)=-f(x)
令1-x=t x=1-t 1+x=2-t
f(t)=f(2-t)
f(-t)=-f(t)=-f(2-t)
令t=u-2 -t=2-u 2-t=4-u
-f(4-u)=f(2-u)=f(u)
f(4-u)=-f(u)=f(-u)
令-u=v
所以f(v)=f(v+4)
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数

（2）f(x)=f(2-x)
因为1<=x<=2，所以0<=2-x<=1
所以f(x)=f(2-x)=2^(2-x)-1

（3）因为f(x)是以4为周期的周期函数
所以原式=503*[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(0)+f(1)
=503*(0+1+0-1)+0+1
=1