Question

设V1,V2,...,Vs是数域P上n维线性空间V的s个真子空间,则存在线性空间V的基e1,e2,..

设V1,V2,...,Vs是数域P上n维线性空间V的s个真子空间，则存在线性空间V的基e1,e2,...,en,满足ei不属于Vj,j=1,2,...,s;i=1,2,...,n.怎样用归纳法证明

Answer 1

如果数域P为有限域，这个结论不对。所以下面假设P是无限域。

先证明：V1,.., Vs的并依然为V的真子集。否则的话，不妨取一组最小的这样子空间，仍然设为V1,..., Vs; 也就是说其中任意(s-1)个字空间的并还是真子集，而全体s个子空间的并为V.任取v1, 在V1中，但不在其它子空间中，再取v2在V2中，而不在其它子空间中。考虑线性组合av1+v2, 由于a可取无限个非零数，从而，这样的组合中一定有两个, av1+v2, bv1+v2,在同一个子空间Vj中， 如果j等于2，这两个组合直接相减可得v1在V2中，矛盾。如果j不等于2, 则v1+1/av2,v1+1/bv2在Vj中，相减可得v2在Vj中，矛盾。

下面归纳构造ei. 任取e1不在所有的Vi中，然后令U1为e1生成的子空间，如果U1=V,则证明完成。如果U1是真子空间，则将U1加到那些真子空间中，再任取e2不再所有这些s+1个真子空间中，依次可归纳构造出一组基。