Question

一道数学竞赛的平面几何问题

如图所示，PA、PB是圆O的切线，切点为A、B。连接AB。在圆上取AB右侧的点C，连接PC交圆O于D。取AP中点M，连接CM交AB与点E，连接DE。求证：DE∥AP

Answer 1

解：连接PQ延长交圆于R点，根据圆锥曲线的性质容易得到D E R三点共线

因为MA^2 =MQ *MC，且角PMC是公共角

所以三角形MPQ相似三角形MCP

==>角C =角MPQ

又因为角C= 角QRD 

==>角MPQ= 角QRD 

==>DR//PA

==>DE∥AP

追问

连接PQ延长交圆于R点，根据圆锥曲线的性质容易得到D E R三点共线
这一步得说明白啊，不然肯定要扣分的。

追答

恩，不过这个结论在很多书上都有现成的结论。像上面那个先证明调和分割也可以啊

追问

我还是高中生，你说得太深奥了。调和分割什么的不懂啊。

追答

高中竞赛里不是有一个调和点列吗。。
若同一直线上四点G、A、H、B满足
GA×HB = GB×AH,则称它们为调和分割,一般用比值的形式
在这道题里
P D F C四点成调和点列 （F是PC和AB的交点）

追问

谢谢你的耐心解答，但只能采纳一个答案，抱歉。楼下的答案更贴近我的高中知识。

Answer 2

证明：设AB,CD的交点为F,连接BC,AD,AC
则由切割线知△PBD∽△PCB，△PAD∽△PCA
即有PB/PC=PD/PB=BD/BC
PA/PC=PD/PA=AD/AC，又PA=PB
∴PB²/PC²=(BD/BC)·(AD/AC)=(BD/AC)·(AD/BC)
=(DF/AF)·(DF/BF)=DF²/(AF·BF)=DF²/(DF·CF)=DF/CF
而PB²=PD·PC，∴PD/PC=DF/CF
=>DF/PD=CF/PC
又C,E,M为△APF的割线，M为AP中点
∴由梅涅劳斯定理(AM/MP)·(PC/CF)·(FE/EA)=1
可得FE/EA=CF/PC=DF/PD
即DE//AP

追问

谢谢，但是这一步不太明白，能再仔细讲讲吗？（我用空格隔开的）
PB²/PC²=(BD/BC)·(AD/AC)= (BD/AC)·(AD/BC)=(DF/AF)·(DF/BF) =DF²/(AF·BF)=DF²/(DF·CF)=DF/CF

追答

这里只是单纯的两个分式相乘=分子分母各自相乘
然后再拆开成另外两个分式的乘积而已，即
(BD/BC)·(AD/AC)=(BD·AD)/(BC·AC)
=(BD·AD)/(AC·BC)=(BD/AC)·(AD/BC)