Question

求证:关于X的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a小于等于1

要说明充分性和必要性啊 谢谢了

Answer 1

充分性：已知a≤1
a=0时，方程变为2x+1=0 x=-1/2，满足题意。
a≤1且a≠0时，判别式△≥0
4-4a≥0
a≤1
设两根分别为x1，x2，由韦达定理得
x1+x2=-2/a x1x2=1/a>0
0<a≤1时，x1+x2=-2/a<0，两根不同时为正，又x1x2=1/a>0，两根同号，因此此时两根均为负
a<0时，x1x2=1/a<0，两根一正一负
综上，得a≤1时，方程至少有一负根。

必要性：已知方程至少有一个负根。
令x=-1/2，解得a=0<1
x≠-1/2时，a≠0，方程为一元二次方程。
方程有实根，判别式△≥0
4-4a≥0
a≤1
设两根分别为x1，x2，由韦达定理得
x1+x2=-2/a x1x2=1/a
方程仅有一负根时，另一根为正，x1x2=1/a<0 a<0
方程两根均为负时，x1+x2=-2/a<0，a>0，又a≤1，因此0<a≤1
综上，得方程至少有一负根时，a≤1

综上，得方程ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1