Question

一道数学解答题

Answer 1

适用数形结合.
f(x) = √(13x²+6x+1)-√(13x²-6x+1) = √((2x)²+(3x+1)²)-√((2x)²+(3x-1)²).
f(x)即点P(2x,3x)到点A(0,-1)与B(0,1)的距离之差(有正负).
当x取遍全体实数, 点P(2x,3x)跑遍直线L: y = 3x/2.
问题转化为求直线L上的点P到A, B的距离差的取值范围.

设C为A关于L的对称点.
可算得C的坐标为(-12/13, -5/13).
|BC| = √((-12/13-0)²+(-5/13-1)²) = 6√13/13.
由C, A关于L对称, 有|PA| = |PC|.
又由三角形两边之差小于第三边, -|BC| < |PC|-|PB| < |BC|.
(因为BC // L, 所以B, C, P不能共线, 不等号是严格的).
于是-6√13/13 < f(x) < 6√13/13.

当x > 0, f(x) = √(13x²+6x+1)-√(13x²-6x+1)
= ((13x²+6x+1)-(13x²-6x+1))/(√(13x²+6x+1)+√(13x²-6x+1))
= 12x/(√(13x²+6x+1)+√(13x²-6x+1))
= 12/(√(13+6/x+1/x²)+√(13-6/x+1/x²))
x → +∞时, f(x) → 12/(√13+√13) = 6√13/13.
同理, x → -∞时, f(x) → -6√13/13.
因此f(x)的值域就是(-6√13/13,6√13/13).

Answer 2

两个根号里的数都≥0算出即可