Question

已知数列｛an｝中，a1=5/6，a（n+1）=（1/3）an+（1/2）的n+1次方，求an

请附上解题过程，O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

解：
a(n+1)=(1/3)an +(1/2)^(n+1)
a(n+1)-(6/5)×(1/2)^(n+1)=(1/3)an -(2/5)(1/2)ⁿ=(1/3)[an-(6/5)(1/2)ⁿ]
[a(n+1)-(6/5)(1/2)^(n+1)]/[an-(6/5)(1/2)ⁿ]=1/3，为定值。
a1-(6/5)(1/2)=5/6 -3/5=7/30
数列{an -(6/5)/2ⁿ}是以7/30为首项，1/3为公比的等比数列。
an-(6/5)/2ⁿ=(7/30)(1/3)^(n-1)=(7/10)/3ⁿ
an=6/(5×2ⁿ)+ 7/(10×3ⁿ)
n=1时，a1=6/(5×2)+7/(10×3)=6/10+7/30=25/30=5/6，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=6/(5×2ⁿ) + 7/(10×3ⁿ)。

追问

可答案是an=3*（1/2）的n次方-2*（1/3）的n次方

追答

嗯，是的，是我搞错了。重新写一下：
a(n+1)=(1/3)an +(1/2)^(n+1)
a(n+1)-3/2^(n+1)=(1/3)an -1/2ⁿ=(1/3)(an- 3/2ⁿ)
[a(n+1)- 3/2^(n+1)]/(an -3/2ⁿ)=1/3，为定值。
a1- 3/2=5/6-3/2=-2/3
数列{an -3/2ⁿ}是以-2/3为首项，1/3为公比的等比数列。
an- 3/2ⁿ=(-2/3)(1/3)^(n-1)=-2/3ⁿ
an=3/2ⁿ -2/3ⁿ
n=1时，a1=3/2-2/3=5/6，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=3/2ⁿ-2/3ⁿ

以上是正确的过程。不好意思啊，我搞错了。

追问

3/2^(n+1)哪来的

追答

这是找a(n+1)与an之间关系式。如果你一眼看不出来，可以采用待定系数法求：
a(n+1)=(1/3)an +(1/2)^(n+1)
令a(n+1)+k/2^(n+1)=(1/3)an +(1/3)k/2ⁿ

(1/3)k/2ⁿ- k/2^(n+1)=1/2^(n+1)

(2k/3 -k)/2^(n+1)=1/2^(n+1)
(-1/3)k=1
k=-3
a(n+1)- 3/2^(n+1)=(1/3)an -1/2ⁿ