Question

已知 空间直角坐标系O-XYZ中的点A(1 1 1)，平面a过点A,且与直线OA垂直，动点P(x y z)是平面内任一点 1

已知
空间直角坐标系O-XYZ中的点A(1 1 1)，平面a过点A,且与直线OA垂直，动点P(x y z)是平面内任一点
1 求P的坐标满足的条件
2 求平面a与坐标平面围成的几何体体积

Answer 1

OA=（1,1,1）即为平面a的法（垂直）向量，设平面方程一般式Ax+By+Cz+D=0
其法向量为n=（A，B，C），显然A=B=C=1，将点A代入得D=-3
所以平面a的方程为x+y+z=3，P在平面内任意位置，所以这就是P的坐标满足的条件

知道平面方程可求平面和3个坐标轴的交点坐标，把它们设为X，Y，Z
y=0,z=0时x=3，即X（3,0,0），同理Y（0,3,0）Z（0,0,3）
几何体是可以看成一个三棱锥，3个底面为直角三角形1个底面为等边三角形，
选其中一个直角三角形为底，则高也很显然是已知的，所以体积为2分之9

Answer 2

解：（1）因为OA⊥α，所以OA⊥AP，
由勾股定理可得：|OA|2+|AP|2=|OP|2，
即3+（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2=x2+y2+z2，化简得：x+y+z=3．