Question

设等比数列an是的前n项和为Sn=2^(n+1)-2,数列bn满足6n^2-(t+3bn)n+2bn=0

（1）求数列an的通项公式
（2）1.试确定t的值，使得数列bn为等差数列
2.在1。结论下，若对每个正整数k，在ak与a(k+1)之间插入bk个2，得到一个新的等差数列cn，设Tn是等差数列cn的前n项和，试求满足Tm=2c(m+1)的所有正整数m

Answer 1

（1）n=1时，an=2.
n≥2时，an=Sn-S（n-1）=2ⁿ。
又n=时也满足，故an=2ⁿ。
综上，数列{an}的通项公式为2ⁿ。
（2）6n²-(t+3bn)n+2bn
∴bn=（6n²-tn）/（3n-2）。①
bn等差，则有2b（n+1）=bn+b（n+2）。②
联立①、②得t=4，得bn=2n。（可以令n=1或n=2快速得答案）
（3）
据题意，cn为2、2、2、4、2、2、2、2、8.....2ⁿ、..（2n个2）..、2×2ⁿ。
其中第1、4、9、16...个为原an，令这些个数组成数列dn。（比如d1=1，d2=4，d3=9）
观察可得递推公式d（n+1）-dn=2n+1，累加法求得dn=n²。
∴当n=k²时（k∈N*），cn=2^（√n），当n≠k²时，cn=2。
当1≤n≤3时，Tn=2n，当4≤n≤8时，Tn=2n+2，当9≤n≤15时，Tn=2n+2+6=2n+8........
观察可得k²≤n≤（k+1）²-1时，Tn=2^（k+1）+2n-2k-2。（k∈N*）
Tm=2c（m+1），则k²≤m≤（k+1）²-1.
当m=1时，T1=2c2即2=4不存在。
当k²+1≤m+1＜（k+1）²时，c（m+1）=2.
即有2^（k+1）+2m-2k-2=4，得m=k+3-2^k.
由于m∈N*且m≠1，故仅有k=1使m=2满足。
当m+1=（k+1）²时，c（m+1）=2^（k+1）。
即有2^（k+1）+2m-2k-2=2×2^（k+1），得m=2^k+k+1.
结合m+1=（k+1）²得k²+k-1-2^k=0。令g（k）=k²+k-1-2^k。
可发现其无正整数解（g（1）g（2）＜0或求导观察单调性可验证等）
综上，有且仅有m=2满足。

Answer 2

(1) a1 = s1 = 2^2 -2 =2
当n≥2，n属于Z时，
an = S<n>- S<n-1>
= [2^(n+1) -2] - [2^n -2]
= 2^(n+1) -2^n
= 2^n
所以an的通项公式为an=2^n，n属于Z+

(2)1. 6n²-(t+3bn)n+2bn=0
6n² -tn = 3nb<n> - 2b<n> = (3n-2)b<n>
所以b<n> = (6n² -tn) / (3n-2)
b1 = (6-t)/(3-2) = 6 - t
b2 = (24-2t)/(6-2) = 6- t/2
b3 = (54-3t)/(9-2) = (54-3t) /7
因为bn是等差数列，所以b2-b1=b3-b2
(6- t/2)-(6 - t) = (54-3t)/7 - (6- t/2)
t/2 = (54-6x7)/7 - (3/7)t + t/2
(3/7)t = 12/7
t=12/3=4

2. b<n> = (6n² -4n) / (3n-2) = 2n(3n-2)/(3n-2)=2n
此题错误。例:取k=2。
则ak=2^k=4; a<k+1>=2^(k+1)=8
b<k>=2k=4
在cn中，此段数列即:4,2,2,2,2,8, 不可能构成等差数列。