Question

高等数学：一点的导数存在，为什么不能说该点邻域内一阶可导

Answer 1

邻域当然不一定可导，注意可导和连续都是逐点定义的。
在某一点可导只能说明它在这点处连续且左导等于右导，其他什么都不能说明，比如它在这个点邻域内的单调性，导数的左右极限是否存在等都是有影响的
举例
设狄利克雷函数F（x）当x为有理数时，F（x）为1，x为无理数时函数为0。现在构造带有函数f（x）=x²F（x）这个函数在0这一点是可导的，但是在0的任意邻域却不可导。
再举个例子
f（x）=x²|cos兀/x| x≠0时；f（x）=0，x=0时。这个函数也是在0这一点可导邻域却不可导。

Answer 2

例子：f(x)=x^2 *D(x)，D(x)为Dirichlet函数，按定义可证明f在x0=0处可导；当x0≠0时，由归结原则f在点x0处不连续，所以不可导。