Question

对称阵A正定，要求所有顺序主子式都为零，还是所有主子式都为零？还有顺序主子式都为零能推出所有主子式

对称阵A正定，要求所有顺序主子式都为零，还是所有主子式都为零？还有顺序主子式都为零能推出所有主子式都为零吗？

Answer 1

设A是实对称阵, 则下三条等价:
(1) A正定,
(2) A的任意主子式都大于0,
(3) A的顺序主子式都大于0.
其中(1)推(2), (2)推(3)都比较显然.

(3)推(1)对矩阵阶数用数学归纳法, 证明大意如下:
假设对n阶实对称阵结论成立, 对于顺序主子式都大于0的n+1阶实对称阵.
不难通过合同变换, 保持左上n×n分块不变, 并使第n+1行和n+1列除右下角的元素外都变为0.
由归纳假设, 左上n×n分块是正定阵, 又由n阶和n+1阶顺序主子式 > 0, 可知右下角元素 > 0.
由此可以验证合同变换后的矩阵是正定阵, 于是原矩阵同样正定.

追问

合同变换后的矩阵与原矩阵有相同的正定性，为什么？

追答

可以这样说明(C'表示C的转置):
A正定, 即对任意X ≠ 0, X'AX > 0.
B与A合同, 即存在可逆矩阵T使T'AT = B.
由T可逆, 对任意X ≠ 0有TX ≠ 0.
于是X'BX = X'T'ATX = (TX)'A(TX) > 0, 即得B正定.

实际上, 如果学过实对称阵的合同标准型.
可以知道正定阵就是合同于E的实对称阵.
而合同是等价关系, 因此合同变换保持正定性.

追问

合同是等价关系是什么意思？

追答

一个集合S上的等价关系"~"是指一个二元关系, 满足:
(1) 自反性: 即对任意x成立x ~ x.
(2) 对称性: 若x ~ y, 则有y ~ x.
(3) 传递性: 若x ~ y, y ~ z, 则有x ~ z.

可以证明合同关系是实对称阵集合上的一个等价关系.
于是由A合同于E (即A正定), 又B合同于A, 根据传递性可得B合同于E (即B正定).