Question

关于数列的问题

已知函数f（x）=x/x+1，数列｛an｝满足a1=1，并且a n+1=f（an）
（1）求数列｛an｝的通项公式
（2）若bn=(1/n+1)an，求数列｛bn｝的前n项和sn

Answer 1

1.a（n+1）=an/（an+1），取倒数
1/a（n+1）=1/an+1，1/a1=1.
∴1/an是首项1/a1=1，公差d=1的等差数列。
1/an=1+（n-1）=n，则an=1/n。
综上，{an}的通项公式为1/n。
2.bn=1/（n+1） × 1/n=1/n（n+1）=1/n-1/（n+1）。
∴Sn=1-1/2+1/2-1/3+.....+1/n-1/（n+1）=1-1/（n+1）。
综上，{bn}的前n项和Sn=1-1/（n+1）。

Answer 2

解：（1）f（an）=an/an+1=a n+1，∴an+1/an=-1，∴an/an+1=-1/an，
∵ a n+1=f（an）∴an/an+1=a n+1，∴a n+1+an（a n+1）=an，∴an/a n+1=an+1
∴1/a2=a1+1=2,，∴a2=1/2，又a2/a3=3/2，∴a3=1/3,，∴当n=1，an=a1=1；当n≥2，an=1/n
∴数列｛an｝的通项公式为an=1/n
(2) 由题意得：bn=1/（n+1） × 1/n=1/n（n+1）=1/n-1/（n+1）
∴sn=1-1/2+1/2-1/3+......+1/n-1/（n+1） =1-1/（n+1）∴｛bn｝的前n项和sn=1-1/（n+1）