Question

设函数f(x)=x/e^2x+c

设函数f(x)=x/e^2x+c
讨论关于x的方程llnxl=f(x)根的个数

Answer 1

设函数f(x)=x/e^2x+c，讨论关于x的方程llnxl=f(x)根的个数

解析：∵函数f(x)=x/e^2x+c
当c>0时
令f’(x)=(1-2x)/e^2x=0==>x=1/2
当x∈(0,1/2)时，f’(x)>0；当x∈(1/2,+∞)时，f’(x)<0；
∴f(x)在x=1/2处取极大值f(1/2)=1/(2e)+c
设g(x)=|lnx|
∵自然对数lnx在x>0上单调增，0<x<1时，lnx<0，x>=1时，lnx>=0
∴0<x<1时，g(x)>0，单调减；x>=1时，g(x)>=0，单调增；
∴g(x)图像与f(x)图像必存在二个交点，即方程llnxl=f(x)必有二个根

当c=0时
∵方程llnxl=f(x)
设h(x)= llnxl-f(x)
写成分段函数：
H(x)=-lnx- x/e^2x-c (0<x<1)
H(x)=lnx- x/e^2x-c (x>=1)

当0<x<1时，
h’(x)=-1/x-(1-2x)/e^2x<0，∴h(x)单调减；
h(1/2)=ln2-1/(2e)>0，h(1)=-1/e^2<0
∴在区间[1/2,1]一必有一个实根；
当x>=1时，
h’(x)=1/x-(1-2x)/e^2x>0，∴h(x)单调增；
H(2)=ln2-2/e^4>0
∴在区间[1,2]一必有一个实根；
∴当c=0时，h(x)必有二个实根，即方程llnxl=f(x)必有二个根

当c<0时
令f(1)=1/e^2+c=0==>c=-1/e^2
∴g(x)图像与f(x)图像必存在一个交点，即方程llnxl=f(x)必有一个根

综上：
当c>-1/e^2时，方程llnxl=f(x)必有二个根
当c=-1/e^2时，方程llnxl=f(x)必有一个根
当c<-1/e^2时，方程llnxl=f(x)无实根

Answer 2

第二题作图就可以了，秒解！