设函数f(x)=x/e^2x+c 20

设函数f(x)=x/e^2x+c讨论关于x的方程llnxl=f(x)根的个数... 设函数f(x)=x/e^2x+c
讨论关于x的方程llnxl=f(x)根的个数
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韩增民松
2013-07-31 · TA获得超过2.3万个赞
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设函数f(x)=x/e^2x+c,讨论关于x的方程llnxl=f(x)根的个数

解析:∵函数f(x)=x/e^2x+c
当c>0时
令f’(x)=(1-2x)/e^2x=0==>x=1/2
当x∈(0,1/2)时,f’(x)>0;当x∈(1/2,+∞)时,f’(x)<0;
∴f(x)在x=1/2处取极大值f(1/2)=1/(2e)+c
设g(x)=|lnx|
∵自然对数lnx在x>0上单调增,0<x<1时,lnx<0,x>=1时,lnx>=0
∴0<x<1时,g(x)>0,单调减;x>=1时,g(x)>=0,单调增;
∴g(x)图像与f(x)图像必存在二个交点,即方程llnxl=f(x)必有二个根

当c=0时
∵方程llnxl=f(x)
设h(x)= llnxl-f(x)
写成分段函数:
H(x)=-lnx- x/e^2x-c (0<x<1)
H(x)=lnx- x/e^2x-c (x>=1)

当0<x<1时,
h’(x)=-1/x-(1-2x)/e^2x<0,∴h(x)单调减;
h(1/2)=ln2-1/(2e)>0,h(1)=-1/e^2<0
∴在区间[1/2,1]一必有一个实根;
当x>=1时,
h’(x)=1/x-(1-2x)/e^2x>0,∴h(x)单调增;
H(2)=ln2-2/e^4>0
∴在区间[1,2]一必有一个实根;
∴当c=0时,h(x)必有二个实根,即方程llnxl=f(x)必有二个根

当c<0时
令f(1)=1/e^2+c=0==>c=-1/e^2
∴g(x)图像与f(x)图像必存在一个交点,即方程llnxl=f(x)必有一个根

综上:
当c>-1/e^2时,方程llnxl=f(x)必有二个根
当c=-1/e^2时,方程llnxl=f(x)必有一个根
当c<-1/e^2时,方程llnxl=f(x)无实根
江苏华简晟01
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本回答由江苏华简晟01提供
花解语空
2014-01-11 · 超过10用户采纳过TA的回答
知道答主
回答量:38
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第二题作图就可以了,秒解!
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