Question

矩阵的秩与特征值有什么关系

为什么方阵A的秩等于其非零特征值的个数（n重特征值算n个）？请高手回答，感谢！

Answer 1

1、方阵A不满秩等价于A有零特征值。

2、A的秩不小于A的非零特征值的个数。

线性变换秩是多少，就一定找到有多少个线性无关的特征向量。因为一个特征向量只能属于一个特征值，所以有多少个线性无关的特征向量，就有多少个特征值（不管特征值是不是一样）。这里有n个1，都是一样的（从特征多项式也知道有n个重根）。因为非退化的线性替换不改变空间的维数，不改变矩阵的秩。

扩展资料：

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

1、第一步：计算的特征多项式；

2、第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

3、第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）。

参考资料来源：百度百科-矩阵的秩

参考资料来源：百度百科-特征值

Answer 2

为讨论方便，设A为m阶方阵

证明：设方阵A的秩为n
因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变成形如
1 0 … 0 … 0
0 1 … 0 … 0
…………………
0 0 … 1 … 0
0 0 … 0 … 0
…………………
0 0 … 0 … 0
的矩阵，称为矩阵的标准形（注：这不是二次型的对称矩阵提到的标准形）
本题讨论的是方阵，就是可以通过一系列初等行变换的标准形为
主对角线前若干个是1；其余的是若干个0
以及除对角线以外的元素都是0。设A的标准形为B

因为“m×m阶矩阵构成的数域P上的线性空间”与
“该线性空间上的全体线性变换在数域P上的线性空间”同构。
所以研究得到线性空间的性质可以照搬到线性变换空间上应用，
从同构的意义上说，他们是“无差别”的。
（由于线性变换符号的字体不能单独以花体字体区别，所以
用形如“线性变换A”，表示线性变换
用形如“矩阵A”，表示线性变换的矩阵）

前面知识应该提到的内容：
一系列初等矩阵的乘积是非退化的，初等变换不改变矩阵的秩，初等变换是可逆的
所以矩阵B的秩（1的个数），就是矩阵A的秩，就是n

因为可逆且不改变秩，所以讨论矩阵B的情况，可以应用到矩阵A上。
我们随即看到，
如果线性变换B（或者说矩阵B）的秩是n，则线性变换B就是
对线性空间的前n个基做恒等映射（因为基向量组没有秩序，我们取前n个不会有原则性的问题）
后m-n个基做零变换，所构成的线性变换，线性变换B的特征多项式是(λ-1)^n

就可以快速找到n个线性无关的特征向量，这些特征向量直接取线性空间的前n个基就可以了。
我们得到的结论是，线性变换B秩是多少，就一定找到有多少个线性无关的特征向量。
因为一个特征向量只能属于一个特征值，
所以有多少个线性无关的特征向量，就有多少个特征值（不管你的特征值是不是一样）
这里有n个1，都是一样的（从特征多项式也知道有n个重根）
因为非退化的线性替换不改变空间的维数，不改变矩阵的秩。

下面我们解释重根为什么按重数计算，对矩阵B做初等行变换，
第i行乘以数域P上的数k≠1（当然，如果k=1纯属脱裤子放屁），
我们的特征多项式变为(λ-1)^(n-1)*(λ-k)，
其它初等变换相应类推。

借用学物理的思维，一个变换莫测的关系中，寻找守恒量是什么？这个是有意义的。
而做这样的非退化的线性变换变换，虽然特征值会随之改变，
但是守恒量是一定能找到n个线性无关的特征向量，其个数就是矩阵B（线性变换B）的秩是不变的。
这样我们就发现了守恒量，至于属于不同特征向量的特征值是否相等，纯属巧合，无意义。
有多少个碰巧相等的都无所谓，有多少个相等（相当于特征多项式的几次方），就当然重复计算。

最后来一个问题的封闭，题目说的是方阵A
这个简单，将矩阵B做一系列初等行变换，虽然特征多项式改变了，线性变换改变了，
特征多项式也变了，但是我们发现的守恒量n，是不变的。

Answer 3

这是因为，矩阵A的相似对角矩阵的主对角元都是矩阵A的特征值，又因为矩阵A的秩与它的相似对角阵的秩相等，因此，如果矩阵A的秩为n，那么它就有n个非零特征值。

Answer 4

引用jbp7e11574075的回答：
为讨论方便，设A为m阶方阵

证明：设方阵A的秩为n
因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变成形如
1 0 … 0 … 0
0 1 … 0 … 0
…………………
0 0 … 1 … 0
0 0 … 0 … 0
…………………
0 0 … 0 … 0
的矩阵，称为矩阵的标准形（注：这不是二次型的对称矩阵提到的标准形）
本题讨论的是方阵，就是可以通过一系列初等行变换的标准形为
主对角线前若干个是1；其余的是若干个0
以及除对角线以外的元素都是0。设A的标准形为B

因为“m×m阶矩阵构成的数域P上的线性空间”与
“该线性空间上的全体线性变换在数域P上的线性空间”同构。
所以研究得到线性空间的性质可以照搬到线性变换空间上应用，
从同构的意义上说，他们是“无差别”的。
（由于线性变换符号的字体不能单独以花体字体区别，所以
用形如“线性变换A”，表示线性变换
用形如“矩阵A”，表示线性变换的矩阵）

前面知识应该提到的内容：
一系列初等矩阵的乘积是非退化的，初等变换不改变矩阵的秩，初等变换是可逆的
所以矩阵B的秩（1的个数），就是矩阵A的秩，就是n

因为可逆且不改变秩，所以讨论矩阵B的情况，可以应用到矩阵A上。
我们随即看到，
如果线性变换B（或者说矩阵B）的秩是n，则线性变换B就是
对线性空间的前n个基做恒等映射（因为基向量组没有秩序，我们取前n个不会有原则性的问题）
后m-n个基做零变换，所构成的线性变换，线性变换B的特征多项式是(λ-1)^n

就可以快速找到n个线性无关的特征向量，这些特征向量直接取线性空间的前n个基就可以了。
我们得到的结论是，线性变换B秩是多少，就一定找到有多少个线性无关的特征向量。
因为一个特征向量只能属于一个特征值，
所以有多少个线性无关的特征向量，就有多少个特征值（不管你的特征值是不是一样）
这里有n个1，都是一样的（从特征多项式也知道有n个重根）
因为非退化的线性替换不改变空间的维数，不改变矩阵的秩。

下面我们解释重根为什么按重数计算，对矩阵B做初等行变换，
第i行乘以数域P上的数k≠1（当然，如果k=1纯属脱裤子放屁），
我们的特征多项式变为(λ-1)^(n-1)*(λ-k)，
其它初等变换相应类推。

借用学物理的思维，一个变换莫测的关系中，寻找守恒量是什么？这个是有意义的。
而做这样的非退化的线性变换变换，虽然特征值会随之改变，
但是守恒量是一定能找到n个线性无关的特征向量，其个数就是矩阵B（线性变换B）的秩是不变的。
这样我们就发现了守恒量，至于属于不同特征向量的特征值是否相等，纯属巧合，无意义。
有多少个碰巧相等的都无所谓，有多少个相等（相当于特征多项式的几次方），就当然重复计算。

最后来一个问题的封闭，题目说的是方阵A
这个简单，将矩阵B做一系列初等行变换，虽然特征多项式改变了，线性变换改变了，
特征多项式也变了，但是我们发现的守恒量n，是不变的。

最佳答案错了吧，一个特征值可以对应多个线性无关的特征向量啊