Question

关于数列的问题

设数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a1=2，a2=8，S（n+1）+4S（n-1）=5Sn（n大于等于2），Tn是数列｛以二为底an的对数｝的前n项和
（1）求数列｛an｝的通项公式
（2）求Tn
（3）求满足（1-1/T2）乘（1-1/T3）乘......(1-1/Tn)大于1010/2013的最大正整数n的值

Answer 1

（1）S<n+1>+4S<n-1>=5Sn,①
n=2时2+8+ a3+4*2=5(2+8),a3=32,
n>2时Sn+4S<n-2>=5S<n-1>,②
①-②，a<n+1>+4a<n-1>=5an,
∴a<n+1>-an=4(an-a<n-1>),
∴an-a<n-1>=(a2-a1)*4^(n-2)=6*4^(n-2),
a<n-1>-a<n-2>=6*4^(n-3),
……
a2-a1=6,
a1=2,
累加得an=2+6[1+4+……+4^(n-2)]
=2+6[1-4^(n-1)]/(1-4)
=2*4^(n-1)
=2^(2n-1),
n=1,2，3时上式也成立。
(2)log<2>an=2n-1,它的前n项和
Tn=1+3+……+(2n-1)=n^2.
(3)1-1/Tn=(n^2-1)/n^2=(n-1)(n+1)/n^2,
∴（1-1/T2）乘（1-1/T3）乘......(1-1/Tn)
=(1*3/2^2)(2*4/3^2)……[(n-1)(n+1)/n^2]
=(n+1)/(2n)>1010/2013,
∴2013（n+1)>2020n,
2013>7n,
n<287.6,
∴满足题设的最大正整数n=287.

Answer 2

1.S(n+1)+4S(n-1)=5Sn,S(n+2)+4Sn=5S(n+1).
两式相减，得a（n+2）+4an=5a（n+1）。①
设待定系数s、t，令a（n+2）-sa（n+1）=t（a（n+1)-san)。
则a（n+2）+stan=（s+t）a（n+1），对比①，得s+t=5，st=4。
解得t=1，s=4或t=4，s=1。
利用前一组数，从而有a（n+2）-4a（n+1）=a（n+1）-4an
∴a（n+1）-4an是公比为1的等比数列。
得a（n+1）-4an=a2-4a1=0
∴a（n+1）=4an，即an是公比为4的等比数列。
an=2×4^（n-1）。
综上，{an}的通项公式为2×4^（n-1）。
2.log（2）（an）=log（2）（2×2^（2n-2））=2n-1。
∴Tn是数列{2n-1}的前n项和，利用等差数列求和公式得Tn=n^2。
综上，Tn=n^2。
3.1-1/Tn=（n^2-1）/n^2=（n-1）（n+1）/n^2
∴（n，2）∏（（n-1）（n+1）/n^2）
=（1×3×2×4×3×5×.....×（n-2）×n×（n-1）×（n+1））/（n!）^2
=（（n-1）!×（n+1）!÷（1×2））/（n!）^2
=（n+1）/2n，令其＞1010/2013得n＜2013/7，即n≤287.
综上，n的最大值为287.