Question

求解微分方程问题

划线处为结果 请问是如何解的

Answer 1

设y'=p
y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
所以方程化为ypdp/dy=1+p^2
2pdp/(1+p^2)=2dy/y
ln(1+p^2)=2ln|y|+C
代入y=1,p=0，得C=0
所以1+p^2=y^2
dy/dx=±√(y^2-1)
dy/√(y^2-1)=±dx
积分得ln|y+√(y^2-1)|=±x+C'
代入x=1,y=1，得
ln|y+√(y^2-1)|=x-1或ln|y+√(y^2-1)|=1-x
即得y+√(y^2-1)=e^(x-1)或y+√(y^2-1)=e^(1-x)
得到y=1/2(e^(x-1)+e^(1-x))

追问

首先谢谢你啊 非常正确 但是我就是不明白由y+√(y^2-1)=e^(x-1)或y+√(y^2-1)=e^(1-x)是怎么得到y=1/2(e^(x-1)+e^(1-x))的呢

追答

这是两个方程，看第一个：
√(y^2-1)=e^(x-1)-y
两边平方，得-1=e^(2x-2)-2e^(x-1)y
即y=1/2(e^(x-1)+e^(1-x))
对于第二个也是同样的解

Answer 2