Question

已知集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|qx2+px+1=0}．同时满足：①A∩B≠∅，②A∩CuB={-2}

已知集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|qx2+px+1=0}．同时满足：①A∩B≠∅，②A∩CuB={-2}，其中p、q均为不等于零的实数，求p、q的值．
有答案说：集合A表示方程x²＋px＋q=0的根，集合B表示方程qx²＋px＋1=0的根，考虑到方程qx²＋px＋1=0可以化为：(1/x)²＋p(1/x)＋q=0，也就是说，假如m是方程x²＋px＋q=0的根，则：1/m肯定是方程(1/x)²＋p(1/x)＋q=0的根，也就是说：集合A中有个元素a的话，则1/a肯定在集合B中。
根据题意，－2在集合A中，则：－1/2必定在集合B中！！考虑到A∩B不是空集，则集合A和集合B中还应该有相同的元素，这个相同的元素：可能是1，也可能是－1
在这里说到“考虑到A∩B不是空集，则集合A和集合B中还应该有相同的元素，这个相同的元素：可能是1，也可能是－1”那为什么在B中不能是－1/2和-2呢？这种情况为什么不用讨论？
http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/969681f7-cc91-4479-9fab-44987b42a208
这个网站也有同样的解法

Answer 1

由题可知，-2为集合A中的一个值，得出4-2p+q=0 ①，
∵A∩B≠∅得出方程x²＋px＋q=qx²＋px＋1有解∴（1-q）x²＋q-1=0得出）x²=1
∴A∩B={1或者-1},将x=1带入x²＋px＋q=0
1+p+q=0 ②，由①②得p=1，q=-2 将p q值带入A B满足条件
将x=-1带入x²＋px＋q=0
1-p+q=0 ③，由①③得p=3，q=2 将p q值带入A B满足条件
所以p、q的值为p=1，q=-2 或者p=3，q=2

追问

我一开始也是使用这种方法，但老师讲的方法和网站的方法一样，我想弄明白
在这里我有一个点不懂：为什么就只有X0与X0分之一相等？如果集合A的两个解互为倒数呢？这种情况不应该讨论一下吗？而且为什么只用XO属于A，XO分之一属于B，A∩B不为空集这三个条件就直接能推出X0与X0分之一相等?

追答

在二次方程ax²＋bx＋c=0,已知方程的根为X1，X2，则X1*X2=c/a，X1+X2=-b/a
假设集合A中的两根为Xa1,Xa2,集合B中两根为Xb1，Xb2，
得出Xa1*Xa2=q，Xb1*Xb2=1/q得出1/Xb1*1/Xb2=q,
Xb1+Xb2=-p/q,得出1/Xb1+1/Xb2=-p
∴集合B的方程可化为：(1/x)²＋p(1/x)＋q=0（此时集合A和集合B中的方程相同，但是根互为倒数）
∴1/Xa1,1/Xa2为集合B方程的两根，
∵A∩CuB={-2}
∴-2为集合A方程的根（Xa1），-1/2为集合B方程的根（1/Xa1）
∵A∩B≠∅
∴Xa2=1/Xa2得出Xa2的平方=1，∴Xa2=±1
∴A与B中相同的元素为1或者-1，
将Xa1=-2，Xa2=1带入A中的方程
将Xa1=-2，Xa2=-1带入A中的方程
分别求出两种情况下的p、q值。