Question

如图，已知曲线C1：y=x2与曲线C2：y=-x2+2ax（a＞1）交于点O，A，直线x=t（0＜t≤1）与曲线C1，C2分别相

如图，已知曲线C1：y=x2与曲线C2：y=-x2+2ax（a＞1）交于点O，A，直线x=t（0＜t≤1）与曲线C1，C2分别相交于点D，B，连结OD，DA，AB，OB．
（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S=f（t）；
（2）求函数S=f（t）在区间（0，1]上的最大值．

Answer 1

解析（1）由　

y=x2y=-x2+2ax

解得

x=0y=0

或

x=ay=a2

．
∴O（0，0），A（a，a2）．又由已知得B（t，-t2+2at），D（t，t2），
∴S=

∫t0

（-x2+2ax）dx-

12

t×t2+

12

（-t2+2at-t2）×（a-t）
=（-

13

x3+ax2）|

t0

-

12

t3+（-t2+at）×（a-t）=-

13

t3+at2-

12

t3+t3-2at2+a2t=

16

t3-at2+a2t．
∴S=f（t）=

16

t3-at2+a2t（0＜t≤1）．
（2）f′（t）=

12

t2-2at+a2，令f′（t）=0，即

12

t2-2at+a2=0．解得t=（2-

2

）a或t=（2+

2

）a．
∵0＜t≤1，a＞1，∴t=（2+

2

）a应舍去．
若（2-

2

）a≥1，即a≥

12-2

=

2+22

时，
∵0＜t≤1，∴f′（t）≥0．
∴f（t）在区间（0，1]上单调递增，S的最大值是f（1）=a2-a+

16

．
若（2-

2

）a＜1，即1＜a＜

2+22

时，当0＜t＜（2-

2

）a时f′（t）＞0．当（2-

2

）a＜t≤1时，f′（t）＜0．
∴f（t）在区间（0，（2-

2

）a]上单调递增，在区间（（2-

2

）a，1]上单调递减．
∴f（t）的最大值是f（（2-

2

）a）=

16

[（2-

2

）a]3-a[（2-

2

）a]2+a2（2-

2

）a=

22-23

a3．http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/24ac0da7-bc4b-4568-8e36-fff67e2707ee这个网站中有
望采纳，谢谢

追问

我早就找到了。

追答

那你还问

Answer 2