Question

已知a,b,c∈R，求证a³+b³+c³≥3abc

答案里的这两步是怎么来的？
①(a+b)³+c³-3a²b-3ab²-3abc
=（a+b+c)[(a+b)²-(a+b)c+c²]-3ab(a+b+c)
②1/2（a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]≥0

Answer 1

a^3+b^3+c^3=1/2(2a^3+2b^3+2c^3)
=1/2[(a^3+b^3)+(a^3+c^3)+(b^3+c^3)]
=1/2[(a+b)(a^2-ab+b^2)+(a+c)(a^2-ac+c^2)+(b+c)(b^2-bc+c^2)]
根据均值不等式
1/2[(a+b)(a^2-ab+b^2)+(a+c)(a^2-ac+c^2)+(b+c)(b^2-bc+c^2)]
>=1/2[ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)]
=1/2(ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2)
=1/2[a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+c^2)]
再次由均值不等式
1/2[a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+c^2)]
>=1/2(2abc+2abc+2abc)=3abc
综上，a^3+b^3+c^3>=3abc

追问

能否用乘法公式的知识点解答？